Перераспределение энергии по пространственным направлениям в кристаллах

Выпускная квалификационная работа

Выполнил: студент группы 43604/1 Н.Г. Шварёв

Руководитель: кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Теоретическая механика В.А. Кузькин

Введение

Количественное описание неравновесных тепловых процессов в кристаллах – одна из актуальных проблем современной физики. Это связано со стремительным развитием нанотехнологий. В связи с этим большой интерес представляют процессы, происходящие в твердых телах при переходе к состоянию термодинамического равновесия. Неравновесное состояние может быть вызвано, к примеру, прохождением ударных волн или быстрым лазерным воздействием. Тогда кинетические энергии теплового движения атомов в разных направлениях могут значительно различаться. Это, в свою очередь, показывает, что кинетическая температура может проявлять тензорные свойства. На фронте ударной волны, распространяющейся вдоль одной из осей, например, оси X, выполняются следующее соотношение:

[math]\widehat T_{xx} \gt \widehat T_{yy} [/math],

где [math]\widehat T_{xx}= \frac{{m\lt v_x^2\gt }}{k_B}, \widehat T_{yy}= \frac{{m\lt v_y^2\gt }}{k_B}[/math] - кинетические температуры вдоль соответствующих направлений, [math]k_B[/math] - постоянная Больцмана.

При переходе к равновесному состоянию в кристалле реализуется два процесса:

1)Выравнивание кинетической и потенциальной энергий;

2)Перераспределение кинетической энергии по пространственным направлениям.

Данная работа посвящена численному описанию перераспределения кинетической энергии по пространственным направлениям в негармонических кристаллах с треугольной кристаллической решеткой.

Далее будет рассматриваться обезразмеренное значение температуры: [math] T_{xx} = \frac{\widehat T_{xx}}{\widehat T_{xx}^o - \widehat T_{yy}^o}, T_{yy} = \frac{\widehat T_{yy}}{\widehat T_{xx}^o - \widehat T_{yy}^o} [/math],

где [math] \widehat T_{xx}^o , \widehat T_{yy}^o [/math] - значения в начальный момент времени [math] \widehat T_{xx}, \widehat T_{yy} [/math] соответственно

Из-за того, что температура прямо пропорциональна кинетической энергии, а в дальнейшем будет происходить рассмотрение только обезразмеренного значения температуры, то понятия температуры и кинетической энергии будут равносильны: [math] T_{xx} = E_x, T_{yy} = E_y [/math]

Для уменьшения влияния случайных начальных условий проводится усреднение по реализациям кристалла.

Цели и задачи работы

Целью данной работы является проведение компьютерного моделирования перераспределения кинетической по пространственным направлениям в негармонических кристаллах с треугольной кристаллической решеткой. В связи с поставленной целью решаются следующие задачи:

• рассмотрение процесса выравнивания температур;

• рассмотрение влияния нелинейности на поведение системы;

• выделение медленного процесса, вызываемого нелинейностью;

• определение формы выделенного медленного процесса.

Модель двумерного кристалла

Рис.1. Пример треугольной кристаллической решетки 10x10, получаемый в результате работы программы

• Рассматривается Треугольная кристаллическая решетка.

• Для взаимодействия между частицами используется Потенциал Леннард-Джонса.

• Задаются следующие начальные условия:

[math]v_x ≤ v_{max}, v_y = 0, u_x = 0, u_y = 0[/math].

В начальный момент времени рассматриваются случайные начальные скорости вдоль одной оси (оси X), ограниченные некоторым варьируемым максимальным значением [math]v_{max}[/math], нулевые начальные скорости вдоль другой оси (оси Y) и нулевые перемещения вдоль обеих осей.

• Используются периодические граничные условия Борна-Кармана.

Выравнивание температуры

• 

  Рис.2. Поведение кинетической температуры при усреднении по 100 реализациям

Как можно заметить, оба графика стремятся к асимптоте T = ¼ . Это связано с тем, что со временем при переходе к стационарному состоянию кинетическая и потенциальная энергия выравниваются, значит, половина кинетической энергии уходит в потенциальную. А при наличии нелинейности разность [math]T_{xx}-T_{yy}[/math] стремится к нулю, следовательно, половина от оставшейся половины уходит на равное распределение по пространственным направлениям.

На начальном интервале в несколько периодов [math]τ_o[/math] происходит перераспределение кинетической и потенциальной энергии, а далее – перераспределение кинетической энергии по пространственным направлениям.

• 

  Рис.3. График перераспределения кинетической температуры по направлениям

Степень влияния нелинейности

Далее посмотрим, как, варьируя амплитуду начальных скоростей, а, следовательно, вместе с ней и температуру, можно изменять степень влияния нелинейности на поведение системы.

• 

  Рис.4. Степень влияния нелинейности

Видно, что скорость [math]0.0001v_o[/math] настолько мала, что переходный тепловой процесс в кристалле Леннард-Джонса с такой скоростью хорошо описывается гармонической моделью и формулой, выведенной в работе [1], при стремлении к стационарному состоянию: [math]\widehat T_{xx}-\widehat T_{yy}=\frac{1}{4}(\widehat T_{xx}^o-\widehat T_{yy}^o)[/math],

а при скорости [math]0.01v_o[/math] разность [math]T_{xx}-T_{yy}[/math] уменьшается в 4 раза, после чего достаточно медленно стремится к нулю.

Вывод формулы подобия

Рассмотрим несколько расчетов с разными начальным скоростями.

• 

  Рис.5. [math]0.01v_o[/math] и [math]0.02_vo[/math], растянутый в 4 раза вдоль горизонтальной оси

• 

  Рис.6. [math]0.01v_o[/math] и [math]0.03_vo[/math], растянутый в 9 раз вдоль горизонтальной оси

• 

  Рис.7. [math]0.01v_o[/math] и [math]0.04_vo[/math], растянутый в 16 раз вдоль горизонтальной оси

• 

  Рис.8. [math]0.01v_o[/math] и [math]0.05_vo[/math], растянутый в 25 раз вдоль горизонтальной оси

Видно, что спустя некоторое время происходит полное совмещение графиков. Оценим это время: [math] t ≥ 10 τ_o (\frac{v_{max2}}{v_{max1}})^2 [/math],

где [math] v_{max2} \gt v_{max1} [/math].

Таким образом, получаем формулу подобия для различных амплитуд начальных скоростей и оценку её области применимости:

[math]∆T_1(t)=∆T_2(t (\frac{v_{max2}}{v_{max1}})^2) [/math],

[math]t ≥ 10 τ_o [/math],

где за [math] ∆T[/math] принята разность [math]T_{xx}-T_{yy}[/math]