Исследование продольных колебаний тела с условиями контакта на границах

МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА
Автор работы: А.В.Шубин
Научный руководитель: к.ф-м.н., доцент О.С. Лобода

Введение

Теория механических колебаний имеет крайне важную роль для инженеров, занятых в области машиностроения, приборостроения, промышленного и транспортного строительства, а также во многих других областях техники. В каждой из перечисленных областей перед специалистами стоит ряд практических задач, связанных с проблемой механических колебаний. Хотя постановка задач и граничные условия разнятся, все они, в конечном счете, решаются на основе общих принципов и методов, входящих в основу теории колебаний.

Магистерская работа посвящена исследованию задачи о движении системы объектов, состоящих из нескольких звеньев и при наличии связей между ними и трения. Актуальность проблемы обусловлена тем, что в наше время вопросы надежности в строительстве и проектировании разнообразных технических объектов требуют учета кинематических явлений.

В данной работе рассматривается упрощенная модель твердого тела, а именно механическая система из нескольких элементов, соединенных упругими пружинами. Определяется форма эмпирической силы сухого трения среды. Это гладкая, непрерывная функция, включающая в себя как зону силы трения покоя, так и зону силы трения движения.

Создается математическая модель данной системы в программном пакете Wolfram Mathematica, задается область применения, определяются параметры среды. Универсальность математических моделей позволяют предположить целый класс механических задач. В таких задачах рассматриваются свободные и вынужденные колебания, а также режим автоколебаний, для численного решения и последующего исследования которых и применяется данная математическая модель.

Немаловажную роль в настоящее время играет визуализация процессов, рассматриваемых при изучении механических, оптических, электромагнитных и других систем. Для большего погружения в суть процесса с помощью программных продуктов возможно написать программу для непосредственного отображения численных результатов, что и было сделано на языке DELPHI в заключительной части магистерской работы.

Тема работы

Магистерская работа посвящена исследованию задачи о движении системы объектов, состоящих из нескольких звеньев, при наличии упругих связей между ними в среде с сухим трением. Основные направления работы:

Механика:

• Постановка задачи, в которой реализуется движение системы, состоящей из цепи твердых тел, соединенных упругими связями.

Математическое моделирование:

• Создание модели алгоритма описания механической задачи для численного решения заданных уравнений; представление эмпирической силы трения.

Актуальность:

Рассмотренная в работе задача описывает возможные режимы движения в некоторых живых организмах (бионика). Построение работоспособных моделей движения таких систем является полезной задачей, как с исследовательской точки зрения, так и с прикладной. Разнообразие способов организации движения в биологических объектах велико и не изучено.

Задачи

• описать математическую модель движения дискретной системы, состоящей из цепи твердых тел, соединенных упругими связями
• найти оптимальное представление силы трения
• провести проверку работоспособности модели на основе качественного сравнения с аналитическим решением тестовой задачи
• произвести исследование влияния различных параметров на характер движения системы
• создать алгоритм визуализации процесса движения системы

Результаты работы

В данной магистерской работе были рассмотрены механические системы, состоящие из материальных точек, соединенных пружинами. Такие системы охватывают решения целого класса задач в современной технике, а упрощенные модели предоставляют возможность понять устройство работы сложных механизмов.

В ходе проделанной работы была рассмотрена изолированная система, состоящая из материальных точек с одинаковой массой с учетом связей между звеньями. Создана математическая модель колебательной системы, которая призвана численно описывать ряд механических задач. Для выполнения необходимых расчетов изучен язык программирования Wolfram Language, и все вычисления производились в программном пакете Wolfram Mathematica.

Путем исследования была найдена оптимальная форма сухого трения на основе s-образной силы трения. Введены численные коэффициенты K, L и M для варьирования формы и подбора оптимальной силы трения, и проверено их влияние.

На основе сравнения аналитического решения задачи и численного решения математической модели была установлена корректность работы. После проверки с ее помощью предоставляется возможность численно решать задачи на механические колебания.

Была успешно реализована задача на автоколебания, в ходе решения которой, движение системы, состоящей из тележки, груза и пружины, было исследовано на влияние:

• угла наклона поверхности;
• постоянной скорости;
• параметров силы трения;
• характеристик пружины;
• числа звеньев системы.

В завершение на языке программирования Delphi был написан визуализатор движения механической системы, данные для отображения экспортируются напрямую из решателя Wolfram Mathematica.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. Издание 5-е, стереотипное. М.: Физматлит, 2004. — 224 с.
• Айзерман М.А. Классическая механика. М.: Физматлит, 2005. — 380 с.
• Математическое моделирование. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. — М.: Наука. 1989. – 312 с.
• Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. – 1987. – 320 с.
• Коган И.Ш., 2004, "Физические аналогии" не аналогии, а закон природы. - http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/7438.htm1.
• Чичинадзе А.В. Основы трибологии (трение, износ, смазка) ––Машиностроение, 2001. – 663 с.
• Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний — Москва, 1980. – 252 c.
• Беленький И.М. Введение в аналитическую механику. М.: Высш. школа, 1964. – 324 с.
• Половко А.М. Mathematica для студента. СПб.: БХВ-Петербург, 2007. – 386 с.
• Фленов М.Е. Библия Delphi. Третье издание. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 686 с.