Исследование колебаний математического маятника переменной длины

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск

Цель

Целью нашей работы является исследование колебания маятника, длина которого меняется по гармоническому закону.

Задачи

  • Построить графики колебаний, используя численные методы;
  • Построить фазовые портеры;
  • Исследовать влияние параметров в уравнении колебаний на вид колебаний и фазовых портретов;
  • Сравнить решение исходного и линеаризованного уравнения.
  • Визуализировать модель маятника при помощи языка программирования JavaScript

Вывод формул

Выясним, каким будет уравнение колебаний нашего маятника. Для этого найдем кинетическую и потенциальную энергию маятника: Kineticheskaya.PNG Potencialnaya.PNG
и запишем уравнение Лагранжа второго рода:
Lagrang2.PNG, где
Dlina.PNG

Для исследования поведения нашего маятника рассмотрим несколько случаев. Для начала рассмотрим случай пренебрежения изменения длины маятника, учитывая, что начальный угол отклонения много меньше 1 радиана.
Разложим синус в ряд Тейлора:Sinus.PNG
Ограничиваясь первым членом в разложении, получим: Nedomat'e.PNG
Учитывая малость параметра b, заменим выражение эквивалентным:Ekvivalent.PNG
Cведем наше уравнение к уравнению Матье: Mat'e2.PNG,где
Koefficienti.PNG
Зоны устойчивости и неустойчивости уравнения Матье представлены на диаграмме Айнса-Стретта:
Strett.jpg
Усложним задачу и учтём изменение длины маятника. Рассмотрим три варианта:
В первом приближении:
Pervoepribligenie.PNG
С учётом третьего порядка приближения в разложении синуса :
Vtoroepribligenie.PNG
И исходное уравнение:
Isxodnoe.PNG
При исследовании поведения системы мы построили график зависимости скорости затухания (раскачивания) от параметров b и p. При фиксированном значении параметра b и переменном значении параметра р мы считали декремент затухания:
Dekrement.PNG
Из этого графика видно, что при малых значениях параметра b для p на промежутке от 1,5 до 3 декремент отрицателен. Это означает, что колебания неустойчивы и происходит раскачивание системы. При больших b видно, что с увеличением p скорость затухания увеличивается, и при фиксированном p с увеличением b скорость затухания тоже увеличивается.

Визуализация

Выводы

В ходе исследований колебаний математического маятника переменной длины мы рассмотрели графики колебаний и фазовые портреты. Выяснили, что при фиксировании параметра b с увеличением частоты колебания затухают быстрее, аналогичная зависимость наблюдается при фиксировании частоты и увеличении параметра b. Однако есть области раскачки колебаний. Пренебрегая изменением длины, колебания схожи с классическим маятником для устойчивого случая. Но учитывая изменение длины и беря больше членов в разложении синуса, график заметно изменяется.

Список литературы

Курсовой проект

Скачать

Участники проекта

См. также

Кафедра "Теоретическая механика"