Решение двумерного уравнения теплопроводности. Черногорский Вячеслав. 6 курс

Цель

Численное решение уравнения теплопроводности в единичном квадрате с помощью функций библиотеки MPI.

Постановка задачи

Имеется пластина в форме квадрата с ребром единичной длины. Пусть пластина разогрета до температуры Т_нач., и затем помещена в среду, которая имеет отличную температуру Т_среды. В этой задаче нас интересует процесс численного решения уравнения теплопроводности для пластины, которое выглядит следующим образом:

[math]\frac{\partial U}{\partial t} - a^2(\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}) = 0[/math]

С граничными условиями

[math] \begin{cases} T(G,t) = 10\\ \end{cases}[/math]

И начальным распределением температуры

[math]T(x,y,t) = 50 [/math]

Конечно-разностная схема

Задача содержит производную по времени первого порядка и производные по пространственным координатам второго порядка. Запишем конечно-разностные аналоги слагаемых, входящих в уравнение

Компьютерная реализация

Компьютерную реализацию программы можно найти в Файл:Teplo.rar. В первую очередь область исследования покрывается конечно-разностной сеткой, и решение мы будем искать в узлах этой сетки. Для граничных узлов сетки, решение уже известно из граничных условий, для внутренних условий решение мы должны найти. Так как процесс у нас протекающий во времени, то решение мы будем искать по слоям сетки, в пределах заданного времени.

Результаты

Количество процессов	Время рассчета (сек)
1	7.90
4	2.45
9	91.8818

Выводы

• При использовании 4 процессов скорость расчета наиболее оптимальна.
• При увеличении числа процессоров скорость расчета уменьшается.