Моделирование распространения колебаний в бесконечном теле методом конечных элементов

БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА
Автор работы: В. С. Погодина
Руководитель: ассистент кафедры ТМ С. А. Ле-Захаров

Введение

Задачи геологоразведки, прогнозирование техногенной взрывной волны, расчет зданий и сооружений на действие сейсмических волн и другие динамические задачи распространения волн в твердом теле в настоящее время весьма актуальны. Целью данной работы является исследование распространения волн, возникающих под действием постоянной точечной силы, в бесконечных телах.В связи с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

• описать основные методы моделирования «бесконечных» границ
• выбрать подходящий способ моделирования «бесконечной» границы для одномерного и двумерного тела
• провести моделирование распространения волн в бесконечном одномерном и двумерном телах с помощью выбранных способов моделирования «бесконечных» границ
• проанализировать полученные результаты

Моделирование фиктивной неотражающей границы

Существует несколько подходов к решению задачи моделирования поглощающей границы. Здесь рассматриваются два основных: вязкие и вязкоупругие граничные условия.

Вязкие граничные условия

В однородных изотропных средах существует два типа волн:продольные и поперечные. Их скорости соответственно равны.

[math] V_p = \sqrt{\frac{G}{\rho}}[/math]
[math] V_s = \frac{V_p}{s}[/math]
где [math]G[/math] - модуль сдвига, а [math]s[/math] - упругая константа, найденная по формуле:
[math] s^2 = \frac{1-2\mu}{2\left ( 1-\mu \right )}[/math]
где \mu - коэффициент Пуассона. Вязкие граничные условия задаются в соответствии с формулами, предложенными J. Lysmer и R. Kuhlemeyer:
[math]\sigma = V_p \rho \dot u [/math]
[math]\tau = V_s \rho \dot w [/math]

Вязкие граничные условия в точности передают все нормально набегающие плоские волны тела. Для тех случаев, когда не удается добиться поглощения волны, используются вязкоупругие граничные условия.

Вязкоупругие граничные условия

Исходя из названия вязкоупругих граничных условий, очевидно, что они имеют вязкую и упругую составляющую. Данная модель приведена в работе Андервуда и Гирса. Вязкая состовляющая задается как для вязких граничных условий.Упругая составляющая напряжений в граничных условиях задается исходя из решения стационарной задачи для достаточно большой области с тем же типом нагрузки, что и в динамической задаче.
[math]R^st = -k_p u^st[/math]
[math]T^st = -k_s w^st[/math]
Таким образом уравнения на границе примут следующий вид:
[math]\sigma = V_p \rho \dot u -k_p u^st[/math]
[math]\tau = V_s \rho \dot w -k_s w^st[/math]

Одномерная задача

Задача распространения колебаний в бесконечном теле может быть решена в одномерной, двумерной или трехмерной постановке. Изучение волн начнем с простейшего случая одномерного движения среды, когда все характеристики волны зависят от одной декартовой координаты, например координаты х. В данной работе исследуется поведение среды в случае точечной постоянной силы.

Постановка задачи

Постановка одномерной задачи

Имеется бесконечный стержень.Перемещения во всех точках этой прямой в начальный момент времени равны нулю.Начиная с момента времени, не равного нулю, в некоторой точке (х1) начинает действовать постоянная, сонаправленная с прямой сила F.Требуется найти зависимость перемещения от времени в любой точке прямой, в которой не приложена сила.

Результаты численного моделирования

В данной работе использовался линейный и квадратичный вид зависимости.

Модель материала

Модель материала, имеющего в структуре трещины, основана на модели пороупругого материала. Опишем систему уравнений, задающих модель.

Одним из уравнений является уравнение равновесия: [math]\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} = 0[/math]

Тензор напряжений расписывается согласно принципу эффективных напряжений:

[math]\boldsymbol{\sigma} = (1-m)\boldsymbol{\sigma^*}+m(sp_ж+(1-s)p_г)\boldsymbol{E}[/math]

Где [math]\boldsymbol{\sigma^*}[/math] - напряжения в скелете материла, которые подчиняются линейной теории упругости; [math]m[/math] - пористость материала; [math]s[/math] - сатурация материала.

На первоначальном этапе считается, что материал обладает стопроцентной сатурацией, то есть [math]s = 1[/math]. Тогда тензор напряжений принимает вид:

[math]\boldsymbol{\sigma} = (1-m)\boldsymbol{\sigma^*}+mp_ж\boldsymbol{E}[/math]

Для описания движения жидкости в материале используется закон Дарси:

[math]\bar{w} = -k_*grad(p_ж)[/math]

Где[math]k_*[/math] коэффициент проводимости материала.

Последним уравнением, замыкающим систему является уравнение неразрывности:

[math] div(\rho\bar{w})=0[/math]

Эти уравнения образуют систему относительно [math]\boldsymbol{\sigma^*}, p_ж[/math].

Результаты моделирования

Напряжения при третьей постановке

Пьезометрическое давление при третьей постановке

Эпюры поровых давлений для разных постановок с глубине 1 метр

В ходе моделирования решалась статическая задача, так же заметим что модель двумерная. Моделирование происходило в трех различных постановках

• Без учета УНБ
• С учетом УНБ
• С учетом УНБ и противофильтрационной завесы

Наличие нескольких постановок связано с тем, что в начале исследования не было понятно какие параметры влияют на результат.

В результате моделирования полученным поля напряжений, перемещений и пьезометрического давления для всех трех постановок.

Наиболее интересной зоной при моделировании был зона на расстоянии 1 метр от уровня земли. Эта зоня ялвляется зоной наиболее большого количества датчиков, а так же потому что она является стыком двух типов материалов - бетона и грунта.

В результате работы исследовано распределение порового давление на этой глубине вдоль оси параллельной земле. Наблюдается уменьшение давление с движением от УВБ. Так же нужно заметить, что противофильтрационная завеса создает резкое понижение порового давления. Отметим, что в удалении от стенки графики практически совпадают.

Сравнение результатов модели с результатами эксперимента

Анализ датчиков, расположенных на одинаковом расстоянии от центра кривизны плотины

Сравнение модели и эксперемента

Для сравнения результатов моделирования и натурных данных использовались показания датчиков для 33 секции плотины Саяно-Шушенской ГЭС. При сравнении показаний и результатов моделирования в третьей постановке выяснилось, что модель количественно и качественно совпадает с натурными данными.

Выводы

В ходе работы были решены сразу несколько задач:

1) Обработаны экспериментальные данные датчиков в плотине. Реализована схема отсеивания датчиков показывающие неразумные значения. А на показаниях хорошо работающих датчиков построены модели зависимостей порового давления от уровня УВБ.

2) Реализована модель пороупругого материала для бетона в вычислительном пакете SIMULIA ABAQUS. Получены результаты для различных постановок задачи. Проведено сравнение результатов от постановки задачи. Исследована зависимость порового давления от УВБ.

3) Исследовано влияние угловой координаты на показания датчиков. Определено, что на показания влияет лишь высота расположения датчика и расстояние до центра кривизны плотины.

4) Проведено сравнение исследуемой модели и экспериментальных данных для 33 секции плотины.

По результатам данной работы можно сделать несколько выводов.

Во-первых, для сравнения результатов моделирования и реального материала в исследуемой плотине находится недостаточное количество датчиков. Так же возникает проблема, что находящиеся в плотине датчики расположены группами, но не по всему телу плотины, а лишь в определённых областях. Отсюда возникает затруднения при анализе эксперимента и сравнении его с результатами моделирования, так что делать каких-то уверенных выводов нельзя. Для полной уверенности нужно либо больше датчиков, либо сравнение моделирования и эксперимента нужно проводить по показаниям других групп датчиков, например, расходометрам, наклономеров, деформометров. Кроме того, можно пользоваться лабораторным экспериментом, выполненным с керном, изъятым из тела плотины, и моделированием этого лабораторного эксперимента. Это одно из направлений дальнейшего исследования.

Во-вторых, данная модель согласуется с экспериментом. Особенно хорошо, она описывает область вблизи противофильтрационной завесы плотины. Здесь наблюдается количественное и качественное совпадение. Но имеются расхождения в отдалении от нее. Одним из вариантов доработки модели является более точное описание материала бетона. Например, замена постоянной пористости, на некую функции зависящую от различных параметров: координаты, напряжения, температуры и так далее. Еще одним из направлений развития является оценка напряженно – деформированного состояния сооружений под действием землетрясения с учетом рассмотренных факторов, в том числе влияния поровой жидкости. Особый интерес данной проблемой, вызван появлением во время землетрясения новых трещин в сооружении и фильтрации жидкости в них изменения свойств и параметров сооружений. Реализация этих направлений является дальнейшим планом развития работы.

Материалы работы

• Презентация работы(pdf)
• Превью(pdf)
• Плакат(pdf)

Литература

• К.С. Басниев, А.М. Власов, И.Н. Кочина, В.М. Максимов. Подземная гидравлика. Учебник для ВУЗов – 1986г. 306 с.
• J.F. Shao, Y. Jia, D. Kondo, A.S. Chiarelli. A coupled elastoplastic damage model for semi-brittle materials and extension to unsaturated conditions – 2004г.
• М.Н.Ваучский, Ю.В.Добрица, А.П.Смирнов О.И.Канинский К вопросу о фильтрационных характеристиках бетона – 1998г.
• Н.А. Вульфович, Л.А. Гордон, Н.И. Стефаненко. Арочно-гравитационная плотина Саяно – Шушенской ГЭС. Оценка технического состояния по данным натурных наблюдений – 2012г.
• Е.Л. Косарев. Методы обработки экспериментальных данных – М.: ФИЗМАЛИТ – 2008, 208 с.
• Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика – М.: ЮНИТИ-ЛАНА – 2001г. 656 с.
• Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн. 1 / Пер. с англ. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 1986г.– 366 с.
• M. A. Blot General Theory of Three-Dimensional Consolidation – 1940 г.
• Alan W. Bishop. The principle of the effective stress – 1960г.
• Clayton, C.R.I., Steinhagen, Muller, Steinhagin, H.M., Powrie, W., Terzaghi, K. and Skempton, A.W. Terzaghi's theory of consolidation and the discovery of effective stress. (Compiled from the work of K. Trzaghi and A.W. Skempton). Proceedings of the ICE - Geotechnical Engineering, 113, (4) – 1995г., 191-205.
• Simulia Abaqus Theory Manual 6.11 – 2011г.
• Г. Стренг, Дж. Фикс - Теория метода конечных элементов – 1973 г.