Фрикционные автоколебания

Предисловие

За основу была взята программа Нелинейные колебания груза с вынуждающей силой.

Постановка задачи

• Изучение фрикционных автоколебаний.
• Реализация колебаний грузика, находящегося на движущейся дорожке, на языке JavaScript.
• Построение фазовых траекторий полученной модели.

Общие сведения по теме

Устойчивый предельный цикл

Неплавность скольжения в условиях трения твердых тел при постоянной силе тяги может сопровождаться или не сопровождаться более или менее периодическими остановками. Эту неплавность называют фрикционными автоколебаниями. Для возникновения фрикционных автоколебаний необходимы условия, присущие автоколебательным системам.

При определенных параметрах можно получить установившийся фазовый портрет.

Уравнение движения имеет вид: [math]m\ddot x = -cx + F(v) -F'(v) \dot x +\frac{1}{2}F''(v)(\dot x)^2 - \frac{1}{6}F'''(v)(\dot x)^3[/math], где

• [math]m[/math] - масса грузика;
• [math]с[/math] - жесткость пружины;
• [math]F(v)[/math] и ее производные - функции скорости движения движущейся дорожки;
• [math]x[/math] - текущая координата.

Положение равновесия определяется формулой [math]x_р=\frac{F(v)}{c}[/math].

Советы по работе с программой

Самое первое окно программы - наша модель с визуализацией грузика, пружины и движущейся дорожки. Грузик можно перемещать мышкой. Далее идут ползунки с параметрами.

• [math]m[/math] - масса грузика. Изменяется от 0.01 до 10 с шагом 0.01;
• [math]C[/math] - жесткость пружины. Изменяется от 0 до 10 с шагом 0.01;
• [math]B1[/math] = [math]F'(v)[/math]. Изменяется от -10 до 10 с шагом 0.01;
• [math]B2[/math] = [math]F''(v)[/math]. Изменяется от 0 до 10 с шагом 0.01;
• [math]B3[/math] = [math]F'''(v)[/math]. Изменяется от 0 до 10 с шагом 0.01;
• [math]A[/math] = [math]F(v)[/math]. Изменяется от -1000 до 1000 с шагом 1.

Кнопка "Обновить страницу" позволяет сбросить параметры до первоначальных.

Далее реализован график колебаний относительно положения равновесия. За ним идет фазовая плоскость.

При [math]B1 \gt 0[/math] происходит затухание колебаний, а при [math]B1 \lt 0 [/math] - раскачка.

Совет: НИКОГДА не делать массу равной нулю.

Совет: для получения установившихся автоколебаний необходимо [math]B1 и B3[/math] выставить на нуль, а [math]B2[/math] сделать не нулевым.

Реализация на языке JavaScript

Визуализация на языке JavaScript (разработчик - Шварёв Николай, с использованием кода Киселева Павла):