Одномерное уравнение теплопроводности. Суранов Ян Сергеевич. 6 курс

Постановка задачи

Решается однородное уравнение теплопроводности на промежутке [math]\left[0\ldots 1\right][/math]

[math]\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} - k^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2} = f(x,t)[/math]

С граничными условиями

[math] \begin{cases} T(0,t) = T0(t)=cos(2t)+0.5 \\ T(1,t) = T1(t)=sin(2t)+0.5 \end{cases}[/math]

и начальным распределением температуры

[math]T(x,0) = T0(x)=36.6x[/math]

Реализация

Конечно-разностная схема

Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка. Запишем исходное уравнение в виде

[math]\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2}[/math]

Введем равномерную сетку [math]0 \lt x_i \lt L[/math] с шагом разбиения [math]Δx[/math]. Шаг по времени назовем [math]Δt[/math] Построим явную конечно-разностную схему:

[math]\frac{T_i^{n+1}-T_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(T_{i+1}^{n} - 2T_{i}^{n}+T_{i-1}^{n}\right)[/math]

Где, [math]T_i[/math] — значение температуры в [math]i[/math]-ом узле.

Компьютерная реализация

Скачать программу File:Heat_Equation_Yan.zip

Результаты

• При малом числе узлов в сетки, для данной многопроцессовой реализации, время расчета увеличивается.
• При увеличении числа процессов время расчета существенно сокращается, что делает целесообразным использование данного метода.

Полезные ссылки

Уравнение теплопроводности