Одномерное уравнение теплопроводности. Суранов Ян Сергеевич. 6 курс

Постановка задачи

Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки.

Решается однородное уравнение теплопроводности на промежутке [math]\left[a\ldots b\right][/math]

[math]\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} - k^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2} = f(x,t)[/math]

С граничными условиями

[math] \begin{cases} U(a,t) = M1(t) \\ U(b,t) = M2(t) \end{cases}[/math]

и начальным распределением температуры

[math]U(x,0) = U0(x)[/math]

• Где :[math]f(x,t), U0(x), M1(t), M2(t)[/math] - Известные функции

Реализация

Конечно-разностная схема

Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка. Запишем исходное уравнение в виде

[math]\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2}[/math]

Введем равномерную сетку [math]0 \lt x_i \lt L[/math] с шагом разбиения [math]Δx[/math]. Шаг по времени назовем [math]Δt[/math] Построим явную конечно-разностную схему:

[math]\frac{U_i^{n+1}-U_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(U_{i+1}^{n} - 2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}\right)[/math]

Где, [math]U_i[/math] — значение температуры в [math]i[/math]-ом узле.

Полезные ссылки

Уравнение теплопроводности