Определение модулей жесткости прямолинейных стержней.

Автор работы: Прокопенко Анастасия
Научный руководитель: к. ф.-м. н. Вильчевская Е.Н.

Введение

Теория стержней сыграла большую роль в развитии механики и математической физики. Именно в этой теории впервые возникли дифференциальные уравнения, как обыкновенные, так и в частных производных. В механике сплошных сред, которая описывается уравнениями в частных производных, в которых в качестве независимых переменных выступают три пространственных координаты и время. А в теории стержней фигурируют всего две независимых переменных: одна пространственная координата (обычно длина дуги упругой линии), а второй координатой является время. Получается, что наличие одной пространственной координаты сильно упрощает ситуацию, и именно в теории стержней оказывается возможным исследовать пространственные формы движения. Важно заметить, что тонкий стержень при малых деформациях допускает большие перемещения. Например, изначально прямой стержень можно свернуть в кольцо, при этом деформации стержня останутся пренебрежимо малыми. Существует два метода вывода основных уравнений тонких стержней: асимптотический и прямой. Асимптотический метод основан на уравнениях трехмерной теории и ряде априорных предположений относительно внутренней структуры стержня и характера поведения решения. Прямой метод основан на непосредственном использовании фундаментальных законов механики. Этот метод имеет более широкую область применимости, поскольку при выводе основных уравнений не делается никаких предположений о характере поведения решения, а все особенности внутренней структуры стержня содержатся в тензорах жесткости. В данной работе рассматривается прямой метод.

Цели данной работы

• Определить модули жесткости прямолинейных стержней на основании численного эксперимента
• Исследовать влияние количества сквозных отверстий на модуль жесткости на поперечный сдвиг

Постановка задачи: метод решения

Тензоры жесткости не зависят от деформации, поэтому они могут быть определены по данным линейной теории. Модули упругости будем находить при помощи статического метода. Суть это метода заключается в следующем: решается задача о статическом деформировании по теории стержней, в результате чего находятся перемещения и повороты. Затем та же задача решается по трехмерной теории, либо проводится физический эксперимент, в результате которого также находятся деформации. Важный момент статического метода определения модулей упругости является выбор формул, связывающих между собой характеристики состояния трехмерного тела и состояние соответствующей модели стержня.

Стержень – это модель тонкого трёхмерного тела. Потребуем, чтобы количество движения и кинетический момент у модели и у трёхмерного тела (прообраза) совпадали бы между собой. В результат придём к следующим уравнениям (для линейной теории):

[math]\rho_{0}\left(\underline{u} + \underline{\underline{\Theta_{1}}}\cdot\underline{\psi}\right)= \int \rho\underline{u_{3}}dxdy[/math]

[math]\rho_{0}\left(\underline{u}\cdot\underline{\underline{\Theta_{1}}}+\underline{\underline{\Theta_{2}}}\cdot\underline{\psi}\right)=\int\rho\underline{a}\times \underline{u_{3}}dxdy[/math]

Рис.1

Рис.2

Нахождение модуля жесткости при поперечном сдвиге

Испытания на сдвиг часто используются для оценки механических свойств материалов в хрупком или малопластичном состоянии, при воздействии коррозионной среды (коррозии под напряжением), а также для оценки пластичности и качества сварных соединений. Испытание на сдвиг воспроизводит характерные для многих конструктивных элементов условия механического нагружения и позволяет выявить свойства поверхностных слоев, наиболее напряженных при разрушении.

В изогнутом стержне в некоторых местах его происходит растяжение, а в других — сжатие. Растянуты линии на выпуклой стороне изогнутого стержня, а на вогнутой стороне происходит сжатие. Как и в случае пластинок, вдоль длины стержня внутри него существует «нейтральная» поверхность, на которой не происходит ни растяжения, ни сжатия. Она отделяет собой области сжатия от областей растяжения. В этой задачи будет две компоненты модуля упругости: на сдвиг и на растяжение. При решении этой задачи нужно раскрыть векторное произведение (см. формула из метода решения). Из-за большого количества узлов погрешность будет большой. Чтобы избежать эту проблему нужно решить две задачи: сдвиг стержня со свободным концом (Рис. 1) и с заделкой, как показано на Рис 2.

Угол закручивания в первом случае будет равен:

[math]\underline{\psi _{1}}= \frac{N_{0}}{C_{x}}z\left ( l-\frac{z}{2} \right )\underline{i} [/math]

Угол закручивания для стержня с двумя заделками:

[math]\underline{\psi _{2}}= \frac{N_{0}}{C_{x}}\frac{z}{2}\left ( z-l \right )\underline{i} [/math]

Выражаем в обоих случаях перемещение, будем иметь соответственно:

[math]u_{1}= -\frac{N_{0}}{A_{y}}z-\frac{N_{0}}{2C_{x}}\left ( z^{2}l-\frac{z^{3}}{3} \right ) [/math]

[math]u_{2}= -\frac{N_{0}}{A_{y}}z-\frac{N_{0}}{2C_{x}}\left ( \frac{z^{2}l}{2}-\frac{z^{3}}{3} \right )[/math]

Где [math]u_{1}[/math] - перемещение стержня со свободным концом, а [math]u_{2}[/math] - с заделкой с двух сторон, [math]A_{y}[/math] - модуль жесткости на поперечный сдвиг, [math]C_{x}[/math] - модуль жесткости на кручение. Переходим к относительной координате сечения, делая замену [math]r=zl[/math]. Получаем итоговую формулу для модуля жесткости на поперечный сдвиг:

[math]A_{y}=\frac{3rlN_{0}}{u_{1}\left(3-2r\right)-2u_{2}\left(3-r\right)}[/math]