Моделирование упругого стержня на примере позвоночника

Руководитель

Вильчевская Е.Н.

Введение

В работе рассматривается частный случай гибкого стержня – позвоночник человека. Грамотная нагрузка позвоночника важна как в детстве – при большой гибкости и постоянных изменениях размеров позвоночника, так и в дальнейшем, когда приходится выбирать что носить – рюкзак или сумку, или при экстремальных нагрузках в походах. В дальнейшем результаты работы позволят составить общую теорию по оптимальной нагрузке позвоночника. А так же могут послужить подсказкой к оптимальной нагрузке гибких стержней в целом. Так же данная тема позволяет мне продемонстрировать умение строить математические модели, что является целью моего обучения в бакалавриате по данной специальности. Целью данной работы является возможность доказать, что правильная нагрузка на позвоночник может существенно снизить его деформации. Я рассчитала деформации и изгибы сечений стержня для наиболее часто встречающихся параметров.

Цели

• Смоделировать нагрузки на стержень
• Рассчитать численно силы, действующие на позвоночник
• Составить формулы для векторов деформации и изгиба позвоночника
• Выявить зависимость деформаций и изгиба позвоночника в зависимости от управляющих параметров

Постановка задачи: Модель

• Нагрузка от лямок передается по абсолютно упругим пружинам – мышцам в виде распределенной нагрузки на позвоночник
• Точечные силы и моменты от сил, действующих на ребра и на таз
• Распределенная сила, действующая в позвоночнике в результате давления рюкзака на позвоночник

Постановка задачи: Уравнения

• Уравнения статики

Усилие в позвоночнике
[math] \dot N \ =\ {f_{n}\left(s\right)} + {f_{m}\left(s\right)} + {f_{i}\delta\left(s_{i}\right)}[/math]
Момент в позвоночнике
[math] \dot M \ + j\times N =\ {m_{i}\delta\left(s_{i}\right)}[/math]

• Векторы деформации и внутренняя энергия

Вектор растяжения-поперечного сдвига
[math]e = \dot U\ + j\times \Psi [/math]
Вектор изгиба-кручения
[math]k = \dot \Psi\ [/math]
Внутренняя энергия
[math]\rho_{0}U = \frac{1}{2}e*A*e + \frac{1}{2}k*C*k [/math]

Точное решение

• Изгиб позвоночника

[math]\Psi_{z} = {\frac{N_{позв}}{C_{z}}} {\frac{s^3}{6}} + ({\frac{s^2}{2}} - s_{i}s)\Sigma(N_{таза}-F_{пояса}+N_{ребра_{i}})*H(s-s_{i}) [/math]

• Деформации по x

[math]U_{x} = -{\frac{N_{позв}}{C_{z}}} {\frac{s^4}{24}} - ({\frac{s^3}{6}} - s_{i}{\frac{s^2}{2}})\Sigma(N_{таза}-F_{пояса}+N_{ребра_{i}})*H(s-s_{i}) [/math]

• Деформации по y

[math]U_{y} = {\frac{2F_{лямок}}{A_{y}a^2}} {\frac{s^3}{6}} - {\frac{N_{0}}{A_{y}}}s + {\frac{F_{пояса}}{A_{y}}}H(s-s_{i}) [/math]

Выводы

• На основе линейной теории стержней разработана модель по определению нагрузок со стороны рюкзака.
• Получена зависимость изгиба и деформаций стержня от управляющих параметров
• Обнаружено, что:
  • Деформации позвоночника U будут уменьшаться с увеличением угла поясника β
  • Уменьшить изгиб позвоночника Ψ мы можем расположив центр масс как можно ближе к тазу

Список литературы

1. «Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней» П.А. Жилин, 2007 г
2. «Медицинская и биологическая физика. Курс лекций с задачами: учеб. Пособие» В.Н. Федорова, Е.В. Фаустов, 2008 г
3. Journal of Biomechanics 33 (2000) 881-888
4. «Хирургия позвоночника» 2/2006 © А.И. Продан и др.