Линейные плоские волны в материале с квадратной решёткой.

Руководитель

доц. к. ф.-м. н. Беринский И.Е.

Введение

Исследования в области описания динамики распространения плоских волн в различных кристаллических решётках связаны, в первую очередь, с именем М.Борна, чьи работы датируются началом XX века и не теряют актуальности и по сей день в связи с развитием нанотехнологий и наноэлектроники. Так, задача о распространении линейной волны в одномерной моноатомной цепочке является классической. Модификации этой задачи, а также её обобщения на двумерные решётки рассматривались множеством учёных.

Необходимость построения многополевых моделей при описании распространения волн обусловлена тем, что при континуальном описании не учитываются физические эффекты, связанные с внутренней структурой материала. Построение подобных моделей даст возможность рассматривать системы с учётом информации структурного уровня, не отказываясь при этом от преимуществ континуальных моделей: например, двухполевая модель, в отличие от однополевой, позволяет рассматривать короткие волны.

При построении многополевых моделей дополнительно к полю перемещений для описания изменений, происходящих в рассматриваемой решётке/структуре вводятся системы нескольких взаимопроникающих полей. Для этого выбирается макроячейка моделируемой системы. В зависимости от того, какую модель необходимо построить, выбирается либо минимальная ячейка периодичности (в случае однополевой модели), либо, в случае многополевого подхода, базовая ячейка периодичности может включать несколько элементарных. Особенностью многополевого подхода является то, что, несмотря на идентичность частиц, решётка разбивается на N взаимопроникающих подрешёток, которые маркируются индексами от 1 до N, где N-количество полей.

Актуальность построения подобных моделей для различных, в частности, квадратных, кристаллических решёток, состоит в желании описывать свойства материалов, которые в массе своей синтезируются искуственно – метаматериалов.

Метаматериалы выделены в отдельный класс материалов, так как их свойства зависят от структуры компонентов, упорядоченных особым образом, и могут кардинально отличаться от свойств составляющих их компонентов. Существуют метаматериалы с многократно увеличенными электрической проницаемостью и магнитной восприимчивостью, метаматериалы, эффективность нелинейных эффектов в которых увеличивается на много порядков по сравнению с обычными веществами. Примером могут послужить ауксетики, обладающие полезными механическими свойствами, такими как значительное поглощение механической энергии и высокое сопротивление разрушению. Хотя возможность управления структурой компонентов материала дает новую степень свободы в конструировании их свойств, однако настоящую революцию произвели работы, продемонстрировавшие возможность создания метаматериалов со свойствами, которые не встречаются в природных материалах. Например, с отрицательным коэффициентом преломления, у которых одновременно отрицательны диэлектрическая и магнитная проницаемости.

Для описания распространения волн в подобных материалах могут использоваться построенные в данной работе модели.

Цели и задачи работы

• Целью данной работы является описание динамики плоских волн в материале, который на микроуровне представляет собой квадратную решётку с одинаковым типом частиц. Рассматриваются квадратные решётки (Рис.1, 2), для которой уже были получены уравнения движения.

Были решены задачи построения однополевых и многополевых (двух- и четырёхполевых) моделей для обеих решёток.

Рис.1

Рис.2

Общие соображения

Дисперсионный анализ позволяет выделить 2 разных спектра колебаний частиц, высокочастотный и низкочастотный. В случае низкочастотных колебаний все частицы на графике зависимости перемещения от времени лежат на одной гладкой кривой. В этом случае континуальные уравнения можно получить разложением в ряд Тейлора. Такой подход получил название однополевой модели, который совпадает с классическим микрополярным описанием. В случае высокочастотных колебаний зависимость перемещений от времени является быстро меняющейся функцией, поэтому нельзя провести стандартную процедуру разложения в ряд. Однако если разделить все частицы на чётные и нечётные и рассматривать колебания этих групп отдельно, то для каждой из них станет возможным разложение в ряд. При исследовании движения частиц в решётках подразумевается, что атомы можно считать материальными точками, соединёнными между собой линейными пружинами.

Неустойчивая решётка.

Изучается квадратная решётка с периодом а. Рассматривается взаимодействие центральной частицы (m,n) c четырьмя соседними частицами: (m+1,n);(m-1,n); (m,n+1);(m,n-1). Взаимодействие между частицами с одинаковыми массами m моделируется посредством пружин жесткостью С. Рассмотрим распространение плоской волны , полагая ym = 0.

Однополевая модель

• Дискретное уравнение движения:
  

• Разложение в ряд Тейлора смещений частиц, соседних центральной:
  

• Континуальное уравнение:
  

• Получившееся решение: