Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Версия от 21:46, 9 октября 2015; Антон Кривцов (обсуждение | вклад) (→‎Классические континуальные уравнения)

Перейти к: навигация, поиск
Виртуальная лаборатория > Распространение тепла в гармоническом одномерном кристалле
А.М. Кривцов (аналитическое решение, алгоритмы моделирования), Д.В. Цветков (программирование, расчетные алгоритмы).


Распространение тепла в простейших дискретных системах не подчиняется законам, известным для обычных макроскопических тел. Недавние экспериментальные работы показали, что аналогичные эффекты наблюдаются на наноуровне, в молекулярных и атомарных системах. Компьютерная программа, представленная ниже, демонстрирует распространение тепла в одномерном гармоническом кристалле. Показаны два графика: результаты молекулярно-динамического моделирования и континуального описания. Программа также позволяет осуществить сравнение с другими теориями распространения возмущений в континуальных средах. Анализ системы и получение для нее континуального описания представлены в работе: A.M. Krivtsov, On unsteady heat conduction in a harmonic crystal. ArXiv:1509.02506 (abstract, pdf).

Для просмотра процесса с начала нажмите кнопку Рестарт.

Дискретная модель (микроуровень)

Рассматривается одномерный кристалл, описываемый следующими уравнениями движения:

[math] \ddot{u}_i = \omega_0^2(u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}) ,\qquad \omega_0 = \sqrt{C/m}, [/math]

где [math]u_i[/math] — перемещение частицы, [math]i[/math] — номер частицы, [math]m[/math] — масса частицы, [math]C[/math] — жесткость связи между частицами. Кристалл считается бесконечным: индекс [math]i[/math] принимает произвольные целые значения. Начальные условия:

[math] u_i|_{t=0} = 0 ,\qquad \dot u_i|_{t=0} = \sigma(x)\varrho_i , [/math]

где [math]\varrho_i[/math] — независимые случайные величины с нулевым матожиданием и единичной дисперсией; [math]\sigma[/math] — дисперсия начальных скоростей частиц, являющаяся медленно изменяющейся функцией пространственной координаты [math]x=ia[/math], где [math]a[/math] — шаг кристаллической решетки. Данные начальные условия можно интерпретировать как результат воздействия на кристалл ультракороткого лазерного импульса. На границах используются условия периодичности.

Кинетическая температура: связь между микро и макро

Кинетическая температура [math]T[/math] определяется как

[math] T(x) = \frac m{k_{B}}\langle\dot u_i^2\rangle, [/math]

где [math]k_{B}[/math] — постоянная Больцмана, [math]i=x/a[/math], треугольными скобками обозначено математическое ожидание.

Континуальное описание

— Обратимое уравнение теплопроводности (Кривцов): [math]\ddot T +\frac1t\dot T = c^2 T''[/math] — уравнение, выведенное как прямое следствие дискретных уравнений динамики кристалла [1].

Обозначения: [math]t[/math] — время (переменная), [math]c[/math] — скорость звука.

Классические континуальные уравнения

— Теплопроводности (Фурье): [math]\dot T = \beta T''[/math] [2]

— Максвелла-Каттанео-Вернотта: [math]\ddot T +\frac1\tau\dot T = \frac\beta\tau T''[/math].

— Волновое (Д’Аламбер): [math]\ddot T = c^2 T''[/math] [3]

Обозначения: [math]\tau[/math] — время релаксации (константа), [math]\beta[/math] — температуропроводность, [math]\kappa[/math] — теплопроводность, [math]\rho[/math] — плотность.

Публикации по теме

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Распространение_тепла_в_гармоническом_одномерном_кристалле&oldid=36833»