Распределение тепла в одномерном кристалле

Выполнил: Цветков Д. В.

Научный руководитель: Кривцов А. М.

Презентация: Моделирование динамики толпы

Введение

На данный момент одной из наиболее активно развивающихся областей современной механики является механика наноструктур. Благодаря нанотехнологиям появляется возможность получать практически идеальные, бездефектные материалы. Требуется уметь предугадывать свойства и поведение таких материалов. Благодаря развитию компьютерных технологий имеется возможность моделировать достаточно крупные фрагменты материала, и исследовать их поведение на требуемом отрезке времени.

Также важной темой является исследование Парадокса возврата, следующего из теоремы Пуанкаре о возвращении, по отношению к достаточно коротким одномерным кристаллам. Суть Парадокса возврата в противоречии между возможностью молекул вещества любой динамической системы, сохраняющей механическую энергию, вернуться в окрестность своего первоначального положения, и такими необратимыми процессами, как теплопроводность или диффузия.

Пример: сосуд, разделенный перегородкой (рис.1а). В левой части сосуда содержится небольшое количество молекул газа, правая часть сосуда пуста. Убираем перегородку (рис.1б). Постепенно молекулы газа занимают все пространство сосуда (рис.1в). Но, так как молекул очень мало, через некоторое время они снова одновременно окажутся в левой части сосуда (рис.1г).

• Сосуд с небольшим количеством молекул газа
• 

  Рис.1а)

• 

  Рис.1б)

• 

  Рис.1в)

• 

  Рис.1г)

Если в начальный момент времени в левой части сосуда будет больше молекул (рис.2а), то, после удаления перегородки (рис.2б) ждать возвращения системы в начальное состояние (когда все молекулы находятся в левой части сосуда) придется намного дольше. В этом и состоит разгадка Парадокса возврата --- для достаточно большого тела вероятность обращения таких процессов, как теплопроводность, настолько мала, что время на ожидание такого возврата много больше времени существования вселенной.

• Сосуд с большим количеством молекул газа
• 

  Рис.2а)

• 

  Рис.2б)

Важно исследовать граничное время, в которое возврат системы становится практически невозможен.

В этой связи в данной работе рассматривается процесс преобразования механической энергии нелинейного одномерного стержня в тепловую и обратно с течением времени. Исследуется влияние флуктуаций скоростей на скорость преобразования энергии.

Сравнительный анализ решений задач теплопроводности для бесконечного слоя, находящегося под воздействием ультракороткого лазерного импульса

Метод исследования

Рассматривается задача одномерного теплоизолированного кристалла, нагретого ультракоротким лазерным импульсом. Производится сравнение следующих решений:

• стохастическое решение --- задача динамики кристалла, температура кристалла задается с помощью случайных скоростей
• численное решение дифференциального уравнения, полученного в :

[math] \ddot T + \frac 1t \dot T = c^2 T'' [/math]

• аналитическое решение, полученное в :

[math] T(t, x) = \frac1\pi \int\limits_{-t}^t \frac{e^{-\gamma \left|x - ct \right| }I_0}{k\sqrt{t^2 - \tau^2}} \,d\tau, [/math]

где [math]I_0[/math] --- интенсивность входящего пучка света, [math]\gamma[/math] --- коэффициент поглощения света.

Для численного расчета и сравнения задач написано специальное программное обеспечение на языке MATLAB.