КП: Динамика бильярда
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты ТМ 2015 > Динамика бильярда
Исполнитель: Булдаков Павел
Группа: 09 (23604)
Семестр: весна 2015
Содержание
Аннотация проекта
Данный проект посвящен изучению динамики бильярда .В ходе работы над проектом было рассмотрено разбиение пирамиды из шаров, данный процесс смоделирован на языке JavaScript.
Формулировка задачи
- Написать программу, моделирующую динамику взаимодействия шаров при игре в Бильярд. Взаимодействие между шарами описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.
-Рассмотреть классическое разбиение в русском бильярде, проследить траекторию разлета.
Общие сведения по теме
Впервые о математическом базисе бильярдной игры заговорил Гаспар Гюстав Кориолис в своей книге «Théorie mathématique du jeu de billard» (Русск. перевод: «Математическая теория явлений бильярдной игры») в 1835 году. Он использовал в своей работе элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа. Однако особого интереса у современников книга не вызвала: ни у математиков, ни у бильярдистов.
Прошло более полутораста лет, и математический бильярд развился в свою теорию, породив несколько побочных. «Теория бильярдов» сегодня неотъемлемая часть эргодической теории и теории динамических систем, имеет важнейшее применение в физике. Математиком Гальпериным создан способ определения числа pi с помощью бильярда. Намного ближе общеобразованному читателю результаты исследований математиков Штайнхауса, Альхазена и Гарднера.
При реализации данной задачи используется стол с размерами игрового поля 2240 х 1120 мм, диаметром шара 68 мм и размерами луз 72 и 82 мм соответственно.
Решение
Приняты некоторые допущения:
- все шары считаются идеально упругими и почти идеально жёсткими;
- каждый шар имеет массу в 1 единицу и радиус в 1 единицу;
- взаимодействие между двумя шарами описывается формулой
где d — расстояние между центрами шаров, — сила Леннард-Джонса
Профессор Джим Белк (Jim Belk) рассчитал направление и скорость движения каждого из 15 шаров пирамиды, а также битка , после соударения.Для сравнения, помните, что начальная скорость битка была 10 ед/сек.
[[1]]
Ниже приведена программа( созданная совместно со Степановым Матвеем на основании программы Динамика взаимодействующих частиц) , в которой видно, что траектория разлета шаров схожи с расчетными траекториями профессора.
Текст программы на языке JavaScript:
Файл "Billyard1version.js"
1 window.addEventListener("load", MainBalls, true);
2 function MainBalls(slider_01, text_01, slider_02, text_02) {
3
4 // Предварительные установки
5
6 var canvas = canvasBalls;
7 var context = canvas.getContext("2d"); // на context происходит рисование
8 canvas.oncontextmenu = function (e) {return false;}; // блокировка контекстного меню
9
10 var Pi = 3.1415926; // число "пи"
11
12 var m0 = 1; // масштаб массы
13 var T0 = 1; // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
14 var a0 = 1; // масштаб расстояния (диаметр шара)
15 var q = 90; // угол
16
17
18 var g0 = a0 / T0 / T0; // масштаб ускорения (ускорение, при котором за T0 будет пройдено расстояние a0)
19 var k0 = 2 * Pi / T0; // масштаб частоты
20 var C0 = m0 * k0 * k0; // масштаб жесткости
21 var B0 = 2 * m0 * k0; // масштаб вязкости
22 var v0 = 1; //начальная скорость
23
24
25 // *** Задание физических параметров ***
26
27 var Ny = 32; // число шаров, помещающихся по вертикали в окно (задает размер шара относительно размера окна)
28 var m = 1 * m0; // масса
29 var Cwall = 10 * C0; // жесткость стен
30 var Cball = 0.1 * Cwall; // жесткость между частицами
31 var B = 0.008 * B0; // вязкость среды
32 var Bwall = 0.03 * B0; // вязкость на стенках
33 var mg = 0.25 * m * g0; // сила тяжести
34 var r = 0.5 * a0; // радиус частицы в расчетных координатах
35 var K = 0.85; // сила взаимодействия ограничивается значением, реализующимся при r/a = K
36 var a = 2 * r; // равновесное расстояние между частицами
37 var aCut = 2.00001 * r; // радиус обрезания
38
39 // *** Задание вычислительных параметров ***
40
41 var fps = 50; // frames per second - число кадров в секунду (качечтво отображения)
42 var spf = 100; // steps per frame - число шагов интегрирования между кадрами (скорость расчета)
43 var dt = 0.045 * T0 / fps; // шаг интегрирования (качество расчета)
44
45 // Выполнение программы
46
47 var scale = canvas.height / Ny / a0; // масштабный коэффициент для перехода от расчетных к экранным координатам
48 var r2 = r * r; // ___в целях оптимизации___
49 var aCut2 = aCut * aCut; // ___в целях оптимизации___
50 var a2 = a * a; // ___в целях оптимизации___
51 var D = a2 * Cball / 72; // энергия связи между частицами
52 var LJCoeff = 12 * D / a2; // коэффициент для расчета потенциала Л-Дж
53
54 var Ka = K * a; // ___в целях оптимизации___
55 var K2a2 = K * K * a2; // ___в целях оптимизации___
56
57 var w = canvas.width / scale; // ширина окна в расчетных координатах
58 var h = canvas.height / scale; // высота окна в расчетных координатах
59
60 // Работа с массивом
61
62 var balls = []; // массив шаров
63 var addNewBall = function(x, y) {
64 // проверка - не пересекается ли новый шар со стенами или уже существующими шарами
65 if (x - r < 0 || x + r > w || y - r < 0 || y + r > h) return null;
66 for (var i = 0; i < balls.length; i++) {
67 var rx = balls[i].x - x;
68 var ry = balls[i].y - y;
69 var rLen2 = rx * rx + ry * ry;
70 if (rLen2 < 4 * r2) return null;
71 }
72 var b = [];
73
74 b.x = x; b.y = y; // расчетные координаты шара
75 b.fx = 0; b.fy = 0; // сила, действующая на шар
76 b.vx = 0; b.vy = 0; // скорость
77
78 balls[balls.length] = b; // добавить элемент в конец массива
79 return b;
80 };
81
82 // Основной цикл программы
83
84 function control() {
85 physics();
86 draw();
87 }
88
89 // Расчетная часть программы
90
91 function physics() { // то, что происходит каждый шаг времени
92 for (var s = 1; s <= spf; s++) {
93
94 // пересчет сил идет отдельным массивом, т.к. далее будут добавляться силы взаимодействия между шарами
95 for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
96 balls[i0].fx = - B * balls[i0].vx;
97 balls[i0].fy = - B * balls[i0].vy;
98 }
99
100 for (var i = 0; i < balls.length; i++) { // пеерсчет взаимодействия между шарами
101
102
103 //попадание в лузу
104
105 if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (300/scale+r/2))) {balls.splice(i, 1)}; // когда координаты шара совпадают с координатами, записанными в условии цикла, шар удаляется с поля при помощи balls.splice
106 if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (r/2))) {balls.splice(i, 1)};
107 if ((balls[i].x >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y >= (600/scale -r/2))) {balls.splice(i, 1)};
108 if ((balls[i].x <= (r/2)) && (balls[i].y >= (600/scale -r/2))) {balls.splice(i, 1)};
109 if ((balls[i].x <= (r/2)) && (balls[i].y >= (300/scale-r/2)) && (balls[i].y <= (300/scale+r/2))) {balls.splice(i, 1)};
110 if ((balls[i].x <= (r/2)) && (balls[i].y <= (r/2))) {balls.splice(i, 1)};
111
112 // расчет взаимодействия производится со всеми следующими шарами в массиве,
113 // чтобы не считать каждое взаимодействие дважды
114 var b = balls[i];
115 for (var j = i + 1; j < balls.length; j++) {
116 var b2 = balls[j];
117 var rx = b.x - b2.x; var ry = b.y - b2.y; // вектор смотрит на первый шар (b)
118 var r2 = rx * rx + ry * ry; // квадрат расстояния между шарами
119 if (r2 > aCut2) continue; // проверка на радиус обрезания
120 var rLen = (Math.sqrt(r2));
121
122
123 // если расстояние между частицами мало, силы будут посчитаны для K * a
124 if (r2 < K2a2) {
125 if (rLen > 0.00001) { // проверка, чтобы избежать деления на 0
126 rx = rx / rLen * Ka;
127 ry = ry / rLen * Ka;
128 }
129 r2 = K2a2;
130 rLen = Ka; // корень K2a2
131 }
132
133 // сила взаимодействия
134 var s2 = a2 / r2; var s4 = s2 * s2; // ___в целях оптимизации___
135 var F = LJCoeff * s4 * s4 * (s4 * s2 - 1); // сила взаимодействия Леннарда-Джонса
136
137 var Fx = F * rx; var Fy = F * ry;
138 b.fx += Fx; b.fy += Fy;
139 b2.fx -= Fx; b2.fy -= Fy;
140 }
141
142 if (b.y + r > h) { b.fy += -Cwall * (b.y + r - h) - Bwall * b.vy; } // рассчет взаимодействия со стенками : когда координаты шара совпадают с координатами в условии цикла, шару придается скорость и направление
143 if (b.y - r < 0) { b.fy += -Cwall * (b.y - r) - Bwall * b.vy;}
144 if (b.x + r > w) { b.fx += -Cwall * (b.x + r - w) - Bwall * b.vx; }
145 if (b.x - r < 0) { b.fx += -Cwall * (b.x - r) - Bwall * b.vx; }
146
147 b.vx += b.fx / m * dt; b.vy += b.fy / m * dt;
148 b.x += b.vx * dt; b.y += b.vy * dt;
149 }
150 }
151 }
152
153 // Рисование
154
155 var rScale13 = r * scale * 1.3; // ___в целях оптимизации___
156 var rScaleShift = r * scale / 5; // ___в целях оптимизации___
157 var line ;
158 var radi = 30; // линия которая показывает предполагаему траекторию "битка"
159
160 function draw() {
161 context.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale); // очистить экран
162 for (var i = 1; i < balls.length; i++){
163 var xS = balls[i].x * scale; var yS = balls[i].y * scale;
164 // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
165 var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
166 gradient.addColorStop(0, "#fdebeb");
167 gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
168 context.fillStyle = gradient;
169
170 context.beginPath();
171 context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
172 context.closePath();
173 context.fill();
174 }
175 for (var i = 0; i < 1; i++){
176 var xS = balls[i].x * scale; var yS = balls[i].y * scale;
177 // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
178 var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
179 gradient.addColorStop(0, "#cd0000");
180 gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
181 context.fillStyle = gradient;
182
183 context.beginPath();
184 context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
185 context.closePath();
186 context.fill();
187 }
188
189
190
191 context.lineWidth="3";
192 context.strokeStyle="#fff506";
193 context.beginPath();
194 context.moveTo(balls[0].x * scale, balls[0].y * scale);
195 context.lineTo(radi*v0*Math.cos(q*Pi/180) + balls[0].x * scale,radi*v0*Math.sin(q*Pi/180)+balls[0].y * scale);
196 context.stroke();
197
198
199 // прорисовка луз
200 // verh lev
201 context.lineWidth="3";
202 context.strokeStyle="#ffffff ";
203 context.beginPath();
204 context.moveTo(0, 0);
205 context.lineTo(0,14 +2.5 );
206 context.stroke();
207
208 context.lineWidth="3";
209 context.strokeStyle="#ffffff";
210 context.beginPath();
211 context.moveTo(0, 0);
212 context.lineTo(14 +2.5,0 );
213 context.stroke();
214
215 // verh prav
216 context.lineWidth="3";
217 context.strokeStyle="#ffffff";
218 context.beginPath();
219 context.moveTo(286 - 2.5, 0);
220 context.lineTo(300,0 );
221 context.stroke();
222
223 context.lineWidth="3";
224 context.strokeStyle="##ffffff";
225 context.beginPath();
226 context.moveTo(300, 0);
227 context.lineTo(300,14 +2.5 );
228 context.stroke();
229
230 // niz lev
231 context.lineWidth="3";
232 context.strokeStyle="#ffffff";
233 context.beginPath();
234 context.moveTo(0, 600);
235 context.lineTo(14 +2.5,600 );
236 context.stroke();
237
238 context.lineWidth="3";
239 context.strokeStyle="#ffffff";
240 context.beginPath();
241 context.moveTo(0, 586 - 2.5);
242 context.lineTo(0,600 );
243 context.stroke();
244
245
246 // niz prav
247 context.lineWidth="3";
248 context.strokeStyle="#ffffff";
249 context.beginPath();
250 context.moveTo(300, 600);
251 context.lineTo(300,586 - 2.5);
252 context.stroke();
253
254 context.lineWidth="3";
255 context.strokeStyle="#ffffff";
256 context.beginPath();
257 context.moveTo(300, 600);
258 context.lineTo(286 - 2.5,600 );
259 context.stroke();
260
261 //sered lev
262 context.lineWidth="3";
263 context.strokeStyle="#ffffff";
264 context.beginPath();
265 context.moveTo(0, 289);
266 context.lineTo(0,311);
267 context.stroke();
268
269 //sered prav
270
271 context.lineWidth="3";
272 context.strokeStyle="#ffffff";
273 context.beginPath();
274 context.moveTo(300, 289);
275 context.lineTo(300,311 );
276 context.stroke();
277
278
279 }
280
281
282 // Запуск системы
283 // добавляем 20 частиц, сдвинув их от стен
284 addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
285 addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );
286 addNewBall(16*w/32 - r, 8*h/32 - 1.7321*r);
287 addNewBall(16*w/32 + r, 8*h/32 - 1.7321*r );
288 addNewBall(16*w/32, 8*h/32 - 2*1.7321*r );
289 addNewBall(16*w/32 - 2*r, 8*h/32 - 2*1.7321*r );
290 addNewBall(16*w/32 + 2*r, 8*h/32 - 2*1.7321*r );
291 addNewBall(16*w/32 + r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
292 addNewBall(16*w/32 - r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
293 addNewBall(16*w/32 + 3*r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
294 addNewBall(16*w/32 - 3*r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
295 addNewBall(16*w/32, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
296 addNewBall(16*w/32 - 2*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
297 addNewBall(16*w/32 + 2*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
298 addNewBall(16*w/32 - 4*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
299 addNewBall(16*w/32 + 4*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
300 addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
301
302 this.setSlider_01 = function(c) { q=-c ;}; // функция для слайдера угла
303 this.setSlider_02 = function(c) { v0=c ;}; // функция для слайдера угла
304
305 // Настройка интерфейса
306
307 slider_01.min = 0; slider_01.max =360;
308 slider_01.step = 0.5;
309 slider_01.value = q; // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
310 text_01.value = Math.abs(q);
311 slider_02.min = 0; slider_02.max = 10;
312 slider_02.step = 0.5;
313 slider_02.value = v0; // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
314 text_02.value = v0;
315
316 this.setSlider_01(q);
317 this.setSlider_02(v0);
318
319 this.newSystem = function() {
320 balls[0].vx = v0* Math.cos(q*Pi/180);
321 balls[0].vy = v0* Math.sin(q*Pi/180);
322 }
323
324 this.newSystem1 = function() {
325 for (var i = 20; i >= 0; i--)
326 {balls.splice(i, 1)};
327 addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
328 addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );
329 addNewBall(16*w/32 - r, 8*h/32 - 1.7321*r);
330 addNewBall(16*w/32 + r, 8*h/32 - 1.7321*r );
331 addNewBall(16*w/32, 8*h/32 - 2*1.7321*r );
332 addNewBall(16*w/32 - 2*r, 8*h/32 - 2*1.7321*r );
333 addNewBall(16*w/32 + 2*r, 8*h/32 - 2*1.7321*r );
334 addNewBall(16*w/32 + r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
335 addNewBall(16*w/32 - r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
336 addNewBall(16*w/32 + 3*r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
337 addNewBall(16*w/32 - 3*r, 8*h/32 - 3*1.7321*r );
338 addNewBall(16*w/32, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
339 addNewBall(16*w/32 - 2*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
340 addNewBall(16*w/32 + 2*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
341 addNewBall(16*w/32 - 4*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
342 addNewBall(16*w/32 + 4*r, 8*h/32 - 4*1.7321*r );
343 addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );
344
345 }
346 setInterval(control, 1000 / fps);
347 }
Файл "Billyard1version.html"
1 <!DOCTYPE html>
2 <html>
3 <head>
4 <title>Billyard</title>
5 <script src="Billyard1version.js"></script>
6 </head>
7 <body>
8 <canvas id="canvasBalls" width="300" height="600" style="border:1px none #000000;background: #008000"></canvas>
9 <br>
10 <div>Угол:
11 <input type="range" id="slider_01" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_01(this.value); document.getElementById('text_01').value = this.value;">
12 q =
13 <input id="text_01" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
14 // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
15 if (!this.checkValidity()) return;
16 app.setSlider_01(this.value);
17 document.getElementById('slider_01').value = this.value;
18 ">
19 </div><br>
20
21 <div>Начальная скорость:
22 <input type="range" id="slider_02" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_02(this.value); document.getElementById('text_02').value = this.value;">
23 v0 =
24 <input id="text_02" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
25 // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
26 if (!this.checkValidity()) return;
27 app.setSlider_02(this.value);
28 document.getElementById('slider_02').value = this.value;
29 ">
30 </div><br>
31
32
33 <input type="button" style="width: 50px" name="" onclick="app.newSystem();return false;" value="PLAY"/>
34 <input type="button" style="width: 50px" name="" onclick="app.newSystem1();return false;" value="AGAIN"/>
35
36 <script type="text/javascript">var app = new MainBalls(
37 document.getElementById('slider_01'),
38 document.getElementById('text_01'),
39 document.getElementById('slider_02'),
40 document.getElementById('text_02')
41 );</script>
42 </body>
43 </html>
В реальности данная картина так же видна, хоть и не столь явно из-за неидеальности системы .
Обсуждение результатов и выводы
В ходе работы над проектом была написана программа, моделирующая процесс игры в бильярд. Данная программа показывает, что траектория разлета шаров после центрального удара не зависит от силы удара, но зависит от малейшего изменения угла, так как меняется распространение ударной волны в пирамиде. При силе, достаточной для визуально заметного разлета шаров, при изменении угла на 1 градус - полное отклонение от симметрии, при 0.1 - заметное отклонение от симметрии, при 0.01 - трудно различимое.
Скачать отчет:docx
Ссылки по теме
- Математическая теория явлений бильярдной игры - Г. Кориолис.
- потенциала Леннарда-Джонса
- JavaScript
- Профессор Джим Белк (Jim Belk)
