Движение материальной точки в центральном поле
Интерактивное приложение, представленное ниже, позволяет изучать траектории материальной точки в центральном степенном поле притяжения. Сила взаимодействия является степенной функцией расстояния :
где — некоторый вещественный безразмерный показатель степени. Притягивающий центр находиться в точке .
Текст приложения на языке JavaScript: <toggledisplay status=hide showtext="Показать↓" hidetext="Скрыть↑" linkstyle="font-size:default"> Файл "FC.js" <syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div"> // Движение материальной точки в центральном поле // Разработчик А.М. Кривцов // 18-21.05.2014 // Интернет: tm.spbstu.ru/FC
function MainFC(canvas) {
// Основные размерные параметры const m = 1.; // масса частицы const a = 1.; // радиус круговой орбиты const P = 1.; // сила притяжения на круговой орбите
// Производные размерные параметры
const T = 2 * Math.PI * Math.sqrt(m * a / P); // период движения по круговой орбите const v1 = Math.sqrt(P * a / m); // скорость движения по круговой орбите (1-ая космическая)
// Переменные
var n, v0, zoom, t_max, dt;
// настройка слайдеров
Slider_01.min = 1; Slider_01.max = 22; Slider_01.step = 0.1; // v0 / v1 - начальная скорость Slider_02.max = 6; Slider_02.min = -Slider_02.max; Slider_02.step = 0.01; // n - показатель степени Slider_03.min = 0; Slider_03.max = 6; Slider_03.step = 0.01; // zoom - увеличение Slider_04.min = 0; Slider_04.max = 100; Slider_04.step = 0.1; // t_max/T - время расчета Slider_05.min = 1; Slider_05.max = set_exp(0); Slider_05.step = 1; // N_exp - номер эксперимента
Slider_05.focus();
// Задание значений переменных
dt = T / 200; // шаг интегрирования set_exp(6); // переменные заданы для эксперимента 6
// Отображение
draw();
// функции, запускающиеся при изменении значений слайдеров и текстовых полей
this.set_01 = function(input) { v0 = Number(input) * v1; draw(); }
this.set_02 = function(input) { n = Number(input); draw(); }
this.set_03 = function(input) { zoom = Number(input); draw(); }
this.set_04 = function(input) { t_max = Number(input) * T; draw(); }
this.set_05 = function(input) { set_exp(input); draw(); }
// Отображение
function draw() { // Оптимизация
var n1 = (1 - n) / 2; var dt1 = -P / m * Math.pow(a, -n) * dt;
// Область построения графика
const X_max = canvas.width, Y_max = canvas.height; var x_max, y_max, sx, sy, X0, Y0;
x_max = y_max = Math.pow(2, zoom) * a; // размер области отображения x_min = y_min = -x_max;
sx = sy = Y_max / (y_max - y_min); // масштаб по оси y X0 = Y0 = Y_max + y_min * sy; // положение 0 оси y в экранных координатах
// Инициализация графики
var context = canvas.getContext("2d"); // на context происходит рисование context.clearRect(0, 0, X_max, Y_max); // очистить экран
// Горизонтальная ось
context.strokeStyle = 'lightgrey';
context.beginPath();
context.moveTo(0, Y0); context.lineTo(X_max, Y0);
context.moveTo(X0, 0); context.lineTo(X0, Y_max);
context.moveTo(X0 + a * sx, Y0); context.arc(X0, Y0, a * sx, 0, 2 * Math.PI);
context.stroke();
// Надписи
context.fillStyle = 'black';
context.font = "italic 20px Times";
context.fillText("0", X0 - 15, Y0 - 7);
// График context.strokeStyle = 'black'; context.beginPath(); var vx = v0, vy = 0; var x = 0, y = a; context.moveTo(X0, Y0 - a * sy); for (var t = 0; t < t_max; t += dt) { var r2 = x * x + y * y; var rn = Math.pow(r2, n1); vx += x / rn * dt1; vy += y / rn * dt1; x += vx * dt; y += vy * dt; var X = X0 + x * sx; var Y = Y0 - y * sy; context.lineTo(X, Y); } context.stroke(); }
// Выбор эксперимента
function set_exp(N_exp) { var k = Number(N_exp);
// показатель степени начальная скорость увеличение максимальное число шагов
if (!--k) { n = -3; v0 = 1.004 * v1; zoom = 2.98; t_max = 17.4 * T; } // спираль if (!--k) { n = -2.9; v0 = 1.023 * v1; zoom = 2.98; t_max = 67.6 * T; } if (!--k) { n = -2.87; v0 = 1.029 * v1; zoom = 2.57; t_max = 21.6 * T; } if (!--k) { n = -2.87; v0 = 1.03 * v1; zoom = 2.96; t_max = 94.4 * T; } if (!--k) { n = -2.5; v0 = 1.135 * v1; zoom = 2.98; t_max = 31.1 * T; } // 2
if (!--k) { n = -2; v0 = 1.25 * v1; zoom = 2; t_max = 20 * T; } // эллипс
if (!--k) { n = -1; v0 = 1.25 * v1; zoom = 1; t_max = 26 * T; } if (!--k) { n = -1; v0 = 1.36 * v1; zoom = 1.18; t_max = 10.8 * T; } // 10 if (!--k) { n = -1; v0 = 1.63 * v1; zoom = 1.87; t_max = 25.3 * T; } if (!--k) { n = -1; v0 = 1.93 * v1; zoom = 2.8; t_max = 8 * T; } // 3 ! if (!--k) { n = -1; v0 = 2.31 * v1; zoom = 3.92; t_max = 64.1 * T; } // 11 if (!--k) { n = -1; v0 = 2.43 * v1; zoom = 4.29; t_max = 61.8 * T; } // 8 if (!--k) { n = -1; v0 = 2.74 * v1; zoom = 5.5; t_max = 85.5 * T; } // 5
if (!--k) { n = -0.74; v0 = 2.665 * v1; zoom = 3.81; t_max = 18.8 * T; } // 5
if (!--k) { n = 0; v0 = 1.66 * v1; zoom = 1.39; t_max = 5.1 * T; } // 7 if (!--k) { n = 0; v0 = 2.7 * v1; zoom = 2.34; t_max = 8.9 * T; } // 9 if (!--k) { n = 0; v0 = 3.46 * v1; zoom = 3.03; t_max = 13.3 * T; } // 11
if (!--k) { n = 1; v0 = 2 * v1; zoom = 1.3; t_max = 1 * T; } // 11
if (!--k) { n = 2; v0 = 2.39 * v1; zoom = 1.18; t_max = 4.0 * T; } // 11
if (!--k) { n = 3; v0 = 3.58 * v1; zoom = 1.28; t_max = 1.8 * T; } // 7 if (!--k) { n = 3; v0 = 6.97 * v1; zoom = 1.87; t_max = 1.7 * T; } // 9 if (!--k) { n = 3; v0 = 11.28 * v1; zoom = 2.13; t_max = 1.6 * T; } // 11 if (!--k) { n = 3; v0 = 16.13 * v1; zoom = 2.50; t_max = 1.6 * T; } // 13
if (!--k) { n = 3.29; v0 = 1.3 * v1; zoom = 0.48; t_max = 1.8 * T; } // 13
if (!--k) { n = 4; v0 = 3.36 * v1; zoom = 1.12; t_max = 1.1 * T; } // 5 ! if (!--k) { n = 4; v0 = 6.08 * v1; zoom = 1.44; t_max = 1.9 * T; } // 12 if (!--k) { n = 4; v0 = 9.52 * v1; zoom = 1.66; t_max = 0.9 * T; } // 7 ! if (!--k) { n = 4; v0 = 18.45 * v1; zoom = 2.18; t_max = 0.728 * T; } // 9
if (!--k) { n = 5; v0 = 7.15 * v1; zoom = 1.55; t_max = 0.6 * T; } // 5 !
if (!--k) { n = 4; v0 = 3.304 * v1; zoom = 1.12; t_max = 36.4 * T; } // 5 ~~~ if (!--k) { n = 4; v0 = 9.394 * v1; zoom = 1.66; t_max = 19.6 * T; } // 7 ~~~
if (N_exp) { Text_01.value = v0 / v1; Slider_01.value = Text_01.value; // начальная скорость Text_02.value = n; Slider_02.value = Text_02.value; // показатель степени Text_03.value = zoom; Slider_03.value = Text_03.value; // увеличение Text_04.value = t_max / T; Slider_04.value = Text_04.value; // время расчета Text_05.value = N_exp; Slider_05.value = Text_05.value; // номер эксперимента }
return -k; // Если N_exp = 0 возвращает общее количество экспериментов, в остальных случаях возвращает 0 } } </syntaxhighligh> Файл "FC.html" <syntaxhighlight lang="html" line start="1" enclose="div">
<canvas id="canvasGraph" width="600" height="600" style="border:1px solid #000000;"></canvas>
v0 = <input id="Text_01" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
// если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
if (!this.checkValidity()) return;
app.set_01(this.value);
document.getElementById('Slider_01').value = this.value;
"> v1
<input type="range" id="Slider_01" style="width: 100px;" oninput="app.set_01(this.value); document.getElementById('Text_01').value = this.value;"> n = <input id="Text_02" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
if (!this.checkValidity()) return;
app.set_02(this.value);
document.getElementById('Slider_02').value = this.value;
">
<input type="range" id="Slider_02" style="width: 100px;" oninput="app.set_02(this.value); document.getElementById('Text_02').value = this.value;">
zoom = <input id="Text_03" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
// если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
if (!this.checkValidity()) return;
app.set_03(this.value);
document.getElementById('Slider_03').value = this.value;
">
<input type="range" id="Slider_03" style="width: 100px;" oninput="app.set_03(this.value); document.getElementById('Text_03').value = this.value;"> tmax = <input id="Text_04" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
if (!this.checkValidity()) return;
app.set_04(this.value);
document.getElementById('Slider_04').value = this.value;
"> T
<input type="range" id="Slider_04" style="width: 100px;" oninput="app.set_04(this.value); document.getElementById('Text_04').value = this.value;">
Номер эксперимента <input id="Text_05" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
// если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
if (!this.checkValidity()) return;
app.set_05(this.value);
document.getElementById('Slider_05').value = this.value;
">
<input type="range" id="Slider_05" style="width: 100px;" oninput="app.set_05(this.value); document.getElementById('Text_05').value = this.value;"> </div>
<script type="text/javascript">var app = new MainFC ( document.getElementById('canvasGraph') );</script> </syntaxhighligh> </toggledisplay>
Приложение позволяет интерактивно задавать следующие параметры:
- — начальная скорость точки. Начальная скорость направлена тангенциально (перпендикулярно радиальному направлению). Скорость измеряется по отношению к — скорости кругового движения на начальном удалении от центра (1-ая космическая скорость).
- — показатель степени в законе взаимодействия ( соответствует гравитационному взаимодействию, — линейно-упругому).
- zoom — логарифмический масштаб отображения графика (используется логарифм по основанию 2).
- — время интегрирования, выраженное в периодах кругового движения на начальном удалении от центра.
Кроме того, возможно задать "номер эксперимента". На каждый номер приходится отдельный набор из перечисленных выше четырех параметров, для которого реализуется некоторый характерный вид движения. Эксперименты упорядочены по (в первую очередь), затем по .
Предлагаемые направления исследований
- Определить возможные варианты движения.
- Определить зависимость расстояния до апоцентра (наиболее удаленной точки) орбиты от и .
- Найти замкнутые траектории различной топологии (например, 5-и, 7-и конечные звезды и др.) и определить их положение на плоскости параметров , .
- Найти метод интегрирования уравнений движения с переменным шагом, позволяющий эффективно моделировать движение точки при больших .
- Подобрать значения параметров (и разработать метод такого подбора), позволяющий получать "красивые" графики, которые могут рассматриваться как объекты Science Art (см. в частности, последние номера экспериментов).
