Численное решение уравнения теплопроводности и волнового уравнения
Скачать программу: Equation v6-9-mini release.zip Текст программы на языке JavaScript (разработчики Цветков Денис, Кривцов Антон): <toggledisplay status=hide showtext="Показать↓" hidetext="Скрыть↑" linkstyle="font-size:default"> Файл "Equations.js" <syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div"> window.addEventListener("load", main_equations, false); function main_equations() {
// Предварительные установки
var a0 = 1; // масштаб расстояния var t0 = 1; // масштаб времени var m0 = 1; // масштаб массы var T0 = 1; // масштаб температуры
var k0 = 2 * Math.PI / t0; // масштаб частоты var C0 = m0 * k0 * k0; // масштаб жесткости
var m = 1 * m0; // масса var C = 1 * C0; // жесткость
var omega = Math.sqrt(C / m); var c = a0 * omega;
var tw = CONFIG.N_Wave * a0 / c / 4; var beta = Math.PI * c * c * Math.sqrt(tw);
var dx = 1 * a0; // шаг сетки по оси x
var spf = CONFIG.spf; // steps per frame - сколько расчетов проходит за каждый кадр отображения var dt = CONFIG.dt * t0; // шаг интегрирования по времени
var c3 = init_canvas(Equations_canvas); // инициализация canvas
// слайдер
slider_dt.max = dt * 2;
slider_dt.min = dt / 50;
slider_dt.step = dt / 100;
slider_dt.value = dt;
slider_dt.oninput = function() {dt = parseFloat(slider_dt.value);};
var heat, wave;
function start_new_system() {
heat = new Heat_model(T0, dx, dt, beta);
wave = new Wave_model(a0, k0, m, c, dx, dt);
}
function start_new_system_stair() {
var func = function(M, M_max, N, val) {return IC_stair(M, M_max, N, val,
parseFloat(stair_x1_number.value), parseFloat(stair_x2_number.value))};
CONFIG.IC_Heat = func;
CONFIG.IC_Wave = func;
start_new_system()
}
function start_new_system_Gauss() {
CONFIG.IC_Heat = IC_Gauss;
CONFIG.IC_Wave = IC_Gauss;
start_new_system()
}
button_restart_stair.onclick = start_new_system_stair; button_restart_Gauss.onclick = start_new_system_Gauss;
start_new_system(); control();
function control() {
heat.calculate_steps(spf, dt);
wave.calculate_steps(spf, dt);
draw_interface(c3);
if (checkbox_graph_01.checked) draw_graph(c3, heat.get_D(), heat.get_div(), 1, "#ff0000", "u");
if (checkbox_graph_02.checked) draw_graph(c3, wave.get_D(), wave.get_div(), 1, "#00ff00", "u");
requestAnimationFrame(control);
}
function draw_graph(c, D, D_div, mult_y, color, val) {
// график
c.ctx.strokeStyle = color;
c.ctx.beginPath();
c.ctx.moveTo(0, c.h - D[0].u * (c.h - 20));
for (var i = 1; i < D.length - 1; i++) {
c.ctx.lineTo(i / (D.length - 1) * c.w, c.h - D[i][val] / D_div * mult_y * (c.h - 20));
}
c.ctx.stroke();
}
function draw_interface(c) {
c.ctx.clearRect(0, 0, c.w, c.h);
// вертикальная линия
c.ctx.strokeStyle = "#bbbbbb";
c.ctx.beginPath();
c.ctx.moveTo(c.w / 2, 0);
c.ctx.lineTo(c.w / 2, c.h);
c.ctx.stroke();
}
function init_canvas(canvas) {
canvas.onselectstart = function () {return false;}; // запрет выделения canvas
var canv_obj = {};
canv_obj.ctx = canvas.getContext("2d"); // на context происходит рисование
canv_obj.w = canvas.width; // ширина окна в расчетных координатах
canv_obj.h = canvas.height; // высота окна в расчетных координатах
return canv_obj; }
}
function Heat_model(T0, dx, dt, X) {
var N = CONFIG.N_Heat + 2; // количество узлов по оси x + 2 для ГУ var T_start = 1 * T0; // начальная температура
var T = make_mass(N); var IC = CONFIG.IC_Heat; IC(T, T_start, N, "u"); // начальные условия BC_mirrow(T, N); // граничные условия
var div = 1 * T0; // делитель для функции рисования
this.get_div = function() {return div};
var t = dt / 2; // суммарное время с начала расчета
this.get_D = function() {return T};
this.calculate_steps = calc_implicit_Euler_method;
var alpha = new Array(N + 2), beta = new Array(N + 2);
function calc_implicit_Euler_method(spf, dt) {
for (var s = 0; s < spf; s++) {
var A = X * dt / (dx * dx + 2 * X * dt);
var B = dx * dx / (dx * dx + 2 * X * dt);
alpha[N - 2] = 0;
beta[N - 2] = T[N - 2].u;
for (var i = N - 3; i >= 1; i--) {
alpha[i] = A / (1 - alpha[i + 1] * A);
beta[i] = (B * T[i + 1].u + beta[i + 1] * A) / (1 - alpha[i + 1] * A);
}
T[1].u = (B * T[1].u + beta[1] * A) / (1 - alpha[1] * A - A);
for (var i = 2; i < N - 1; i++) {
T[i].u = (A * T[i - 1].u + B * T[i].u + beta[i] * A) / (1 - alpha[i] * A);
}
t += dt;
}
}
return this;
} function Wave_model(a0, k0, m, c, dx, dt) {
var N = CONFIG.N_Wave + 2; // количество узлов по оси x + 2 для ГУ var U_start = a0 * k0 / (2 * Math.PI);
var U = make_mass(N); var IC = CONFIG.IC_Wave; IC(U, U_start, N, "u"); // начальные условия IC_zero(U, U_start, N, "v"); // начальные условия для скоростей BC_mirrow(U, N); // граничные условия
var div = 1 * a0 * k0 / (2 * Math.PI); // делитель для функции рисования
this.get_div = function() {return div};
var t = dt / 2; // суммарное время с начала расчета
this.get_D = function() {
if (CONFIG.smooth_wave) return get_smoothed(U, N, "u", CONFIG.averaging_quality_Wave);
else return U;
};
this.calculate_steps = function(spf, dt) {
var koeff1 = c * c / (dx * dx) / m;
for (var s = 0; s < spf; s++) {
for (var i = 1; i < N - 1; i++) {
U[i].v += (U[i + 1].u - 2 * U[i].u + U[i - 1].u) * koeff1 * dt;
}
for (var i = 1; i < N - 1; i++) {
U[i].u += U[i].v * dt;
}
t += dt;
}
};
return this;
}
function get_smoothed(D0, N, val, avl_quality) {
var D = [];
var avl = (N - 2) / avl_quality;
var s = 1;
var avl_half = avl / 2;
for (var i = avl_half + 1; i < N - 1 ; i += avl) {
var av = 0;
for (var j = i - avl_half; j < i + avl_half; j++) {
av += D0[j][val];
}
D[s] = {};
D[s][val] = av / avl;
s++;
}
// для первой точки добавляется объект, чтобы график располагался правильно по центру
// но сама первая точка не добавляется - она не усреднена
D[0] = {};
return D;
} </source> Файл "Config.js" <syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div"> var CONFIG = {
fps: 60 // количество кадров в секунду ,spf: 200 // сколько раз происходит вычисление между кадрами
,dt: 0.005
// начальные условия // IC_zero: все значения - нули // IC_stair: ступенька посередине экрана // IC_half_stair: половина ступеньки // IC_stair_random: ступенька, составленная из случайных значений // IC_half_stair_random: половина ступеньки из случайных значений // IC_Gauss: распределение Гаусса
// ,IC_Heat: IC_Gauss // ,IC_Wave: IC_Gauss
,IC_Heat: function(M, M_max, N, val) {return IC_stair(M, M_max, N, val, 0.33, 0.66)}
,IC_Wave: function(M, M_max, N, val) {return IC_stair(M, M_max, N, val, 0.33, 0.66)}
,N_Heat: 1000 // количество частиц по оси x ,N_Wave: 1000 // количество частиц по оси x
,averaging_quality_Wave: 200 // на сколько отрезков усреднения поделить N (число должно быть делителем N) ,smooth_wave: true // сглаживать волновое уравнение
}; </source> Файл "IC_BC_LIB_v1.js" <syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div"> // Аргументы в функции IC и BC: // M - массив (сформированный с помощью функции make_mass данной библиотеки) // M_max - максимальное значение, которое должна задать функция (иногда данное значение передается, // но не испозьзуется, сделано для того, чтобы у всех фунций был одинаковый набор аргументов, // и можно было бы быстро менять используемую функцию (например, из файла настроек)) // N - Размер массива // val - ключ, по которому будет организован доступ к данным. В программе можно будет получить данные через него, // например, так: M[0].val // Чтобы лучше разобраться - просмотрите код какой либо программы, использующей эту библиотеку.
/**
* Создает специальный массив для последующего задания в нем начальных и граничных условий * N - Длина массива (нужно учитывать, что первый и последний элементы будут использованы для граничных условий)) * */
function make_mass(N) {
var M = [];
for (var i = 1; i < N - 1; i++)
M[i] = {};
return M;
}
function IC_zero(M, M_max, N, val) { // Заполняет массив нулями
for (var i = 1; i < N - 1; i++) {
M[i][val] = 0;
}
}
// 0 <= start, end <= 1 // start <= end // чтобы получить функцию вида IC_stair(M, M_max, N, val), используйте замыкание // например: var func = function(M, M_max, N, val) {return IC_stair(M, M_max, N, val, 0.33, 0.66)} function IC_stair(M, M_max, N, val, start, end) { // Задает "ступеньку" высоты M_max посередине экрана
for (var i = 1; i < N - 1; i++) {
if (i >= N * start && i < N * end) M[i][val] = M_max;
else M[i][val] = 0;
}
} function IC_half_stair(M, M_max, N, val) { // Задает мгновенный подъем от нуля до максимального значения
for (var i = 1; i < N - 1; i++) {
if (i < N / 2) M[i][val] = 0;
else M[i][val] = M_max;
}
} function IC_stair_random(M, M_max, N, val) { // Задает "ступеньку" из случайных значений от -M_max до M_max
for (var i = 1; i < N - 1; i++) {
if (i >= N / 3 && i < 2 * N / 3) M[i][val] = (2 * Math.random() - 1) * M_max;
else M[i][val] = 0;
}
} function IC_half_stair_random(M, M_max, N, val) {// Правая половина экрана будет заполнена случайными значениями от -M_max до M_max
for (var i = 1; i < N - 1; i++) {
if (i < N / 2) M[i][val] = 0;
else M[i][val] = (2 * Math.random() - 1) * M_max;
}
} function IC_Gauss(M, M_max, N, val) { // Задает распределение Гаусса.
for (var i = 1; i < N - 1; i++) {
var x = (i - 1) / (N - 2);
M[i][val] = Math.exp(-Math.pow(x - 0.5, 2) * 50);
}
}
function BC_mirrow(M, N) { // Зеркальные граничные условия
M[0] = M[1]; M[N - 1] = M[N - 2];
} function BC_periodic(M, N) { // Периодические граничные условия.
M[0] = M[N - 2]; M[N - 1] = M[1];
} </source> Файл "Equations.html" <syntaxhighlight lang="html" line start="1" enclose="div"> <!DOCTYPE html> <html> <head>
<meta charset="UTF-8" /> <title>Equations</title> <script src="IC_BC_LIB_v1.js"></script> <script src="Config.js"></script> <script src="Equations.js"></script>
</head> <body>
<canvas id="Equations_canvas" width="1000" height="500" style="border:1px solid #000000;"></canvas>
Скорость расчета: <input type="range" id="slider_dt" style="width: 150px;">
<input type="checkbox" id="checkbox_graph_01" checked/>— Уравнение теплопроводности
<input type="checkbox" id="checkbox_graph_02" checked/>— Волновое уравнение
<input type="button" id="button_restart_Gauss" value="Рестарт Гаусс"/>
<input type="button" id="button_restart_stair" value="Рестарт ступенька"/> (0 <= x1, x2 <= 1; x1 < x2)
x1 = <input type="number" id="stair_x1_number" min=0 max=1 step=0.001 value="0.33"/>
x2 = <input type="number" id="stair_x2_number" min=0 max=1 step=0.001 value="0.66"/>
</body> </html> </source> </toggledisplay>
