Пример: баллистическое движение

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Рабочие материалы > Пример: баллистическое движение

---

Рассмотрим движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту в поле силы тяжести. Будем считать, что на тело действует сила сопротивления, пропорциональная его скорости. Реальный закон сопротивления сложнее, однако здесь мы ограничимся указанной упрощенной постановкой. Запишем уравнение движения рассматриваемой системы и соответствующие начальные условия:

[math] m\ddot{\bf r} = m{\bf g} - b\dot{\bf r};\qquad \left.\dot{\bf r}\right|_{t=0} = {\bf v}_0,\qquad \left.{\bf r}\right|_{t=0} = 0, [/math]

где [math]m[/math] и [math]{\bf r}[/math] — масса и радиус-вектор материальной точки, [math]m{\bf g}[/math] — сила тяжести, [math]b\vphantom{b_0}[/math] — коэффициент сопротивления, [math]{\bf v}_0[/math] — начальная скорость, [math]t[/math] — время, точкой обозначена производная по времени, векторы выделены жирным шрифтом.

Обозначим [math]\beta = b/m,\ {\bf v} = \dot{\bf r}[/math]. Тогда уравнение движения может быть записано в виде

[math]\dot{\bf v} + \beta{\bf v} = {\bf g}.[/math]

Ищем решение полученного линейного дифференциального уравнения в виде выражения

[math]{\bf v} = {\bf C}_1e^{\lambda t} + {\bf C}_2,[/math]

которое, после подстановки в уравнение движения с учетом начальных условий, дает следующую формулу для скорости

[math]{\bf v} = \left({\bf v}_0 - \frac{\bf g}{\beta}\right)e^{-\beta t} + \frac{\bf g}{\beta}.[/math]

Легко видеть, что при [math]t \to \infty[/math] скорость стремится к постоянному значению [math]{\bf g}/{\beta}[/math], представляющему собой скорость парашютирования. Интегрирование по времени полученного выражения скорости с учетом начальных условий приводит к следующему уравнению для радиус-вектора материальной точки

[math]{\bf r} = \frac1\beta\left({\bf v}_0 - \frac{\bf g}{\beta}\right)\left(1-e^{-\beta t}\right) + \frac{\bf g}{\beta}\,t.[/math]

{{#ifgroup:sysop|

Случай малого сопротивления

Данный раздел нуждается в доработке, поэтому в настоящее время скрыт для большинства пользователей.

Рассмотрим случай малого сопротивления: [math]\beta t \ll 1[/math]. Используем разложение

[math]e^{-\beta t} \approx 1 - \beta t + \frac12\,\beta^2 t^2. [/math]

Подстановка данного разложения в выражение для [math]\bf r[/math] дает

[math]{\bf r} = {\bf v}_0 t + \frac12\,\tilde{\bf g} t^2,\qquad \tilde{\bf g} = {\bf g} - \beta {\bf v}_0. [/math]

Таким образом, движение при малом сопротивлении эквивалентно движению без сопротивления, но с измененной по величине и направлению силой тяжести, а траектория материальной точки представляет собой наклоненную параболу.

Данный вывод очень нагляден, однако, к сожалению, он справедлив только для очень малых времен, когда в разложении экспоненты можно пренебречь следующими слагаемыми. Достаточно очевидно, что время движения должно быть ограничено, так как должно выполняться условие [math]\beta t \ll 1[/math]. Например, при броске с большой высоты тело может перейти в режим парашютирования, который не описывается данным приближенным решением. Однако, на самом деле, ограничение еще более жесткое. Даже для времен, необходимых для достижения верхней точки траектории, вообще говоря, необходимо удерживать следующее слагаемое в разложении экспоненты, так как оно дает хоть и меньший, но сравнимый вклад. }}