Пример: баллистическое движение

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Рабочие материалы > Пример: баллистическое движение

---

Рассмотрим движение материальной точки, брошенной под углом горизонту в поле силы тяжести. Будем считать, что на тело действует сила сопротивления, пропорциональная его скорости. Реальный закон сопротивления сложнее, однако здесь мы ограничимся указанной упрощенной постановкой. Запишем уравнение движения рассматриваемой системы и соответствующие начальные условия:

[math] m\ddot{\bf r} = m{\bf g} - b\dot{\bf r};\qquad \left.\dot{\bf r}\right|_{t=0} = {\bf v}_0,\qquad \left.{\bf r}\right|_{t=0} = 0, [/math]

где [math]m[/math] и [math]{\bf r}[/math] — масса и радиус-вектор материальной точки, [math]m{\bf g}[/math] — сила тяжести, [math]b\vphantom{b_0}[/math] — коэффициент сопротивления, [math]{\bf v}_0[/math] — начальная скорость, [math]t[/math] — время, производная по времени обозначена точкой, векторы выделены жирным шрифтом.

Обозначим [math]\beta = b/m,\ {\bf v} = \dot{\bf r}[/math]. Тогда уравнение движения может быть записано в виде

[math]\dot{\bf v} + \beta{\bf v} = {\bf g}.[/math]

Ищем решение полученного линейного дифференциального уравнения в виде

[math]{\bf v} = {\bf C}_1e^{\lambda t} + {\bf C}_2,[/math]

что после подстановки в уравнение движения с учетом начальных условий дает следующее выражение для скорости

[math]{\bf v} = \left({\bf v}_0 - \frac{\bf g}{\beta}\right)e^{-\beta t} + \frac{\bf g}{\beta}.[/math]

Легко видеть, что при [math]t \to \infty[/math] скорость стремится к постоянному значению [math]{\bf g}/{\beta}[/math], представляющему собой скорость парашютирования. Интегрирование по времени полученного выражения скорости с учетом начальных условий приводит к следующему уравнению для радиус-вектора материальной точки

[math]{\bf r} = \frac1\beta\left({\bf v}_0 - \frac{\bf g}{\beta}\right)\left(1-e^{-\beta t}\right) + \frac{\bf g}{\beta}\,t.[/math]

Для проверки полученной формулы рассмотрим случай малого сопротивления: [math]\beta t \ll 1[/math]. Используем разложение

[math]e^{-\beta t} \approx 1 - \beta t + \frac12\,\beta^2 t^2. [/math]

Подстановка данного разложения в выражение для [math]\bf r[/math] дает

[math]{\bf r} = {\bf v}_0 t + \frac12\,\tilde{\bf g} t^2,\qquad \tilde{\bf g} = {\bf g} - \beta {\bf v}_0. [/math]

Таким образом, движение при малом сопротивлении эквивалентно движению без сопротивления, но с измененной по величине и направлению силой тяжести, а траектория материальной точки представляет собой наклоненную параболу.

Отметим, что данный вывод справедлив только в случае, если время движения ограничено, так как должно выполняться условие [math]\beta t \ll 1[/math]. Например, при броске с большой высоты тело может перейти в режим парашютирования, который не описывается данным приближенным решением.