КП: Динамика несферических гравитирующих тел

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты 2013 > Динамика несферических гравитирующих тел

---

Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Прокопенко Анастасия

Группа: 07 (20510)

Семестр: весна 2013

Аннотация проекта

Данный проект посвящён динамике несферических гравитирующих тел. На первом этапе одна из частиц считается неподвижной и рассматривается как материальная точка. На следующем этапе планируется рассмотреть обе частицы как несферические тела, которые вращаются вокруг неподвижной точки. Тела, не обладающие сферической симметрией, интересны тем, что их сила притяжения отличается от классического закона всемирного тяготения на асимптотически главный член.

Постановка задачи

Даны два несферических тела, а именно две гантели. Для выполнения первого этапа нужно считать одну из гантелей неподвижной и рассматривать её как материальную точку. Из неё проводится радиус-вектор [math]\vec{r}[/math] в центр масс второй частицы.

[math]\varphi[/math] — это угол поворота, который характеризует на сколько повернулась вторая частица относительно своего изначального положения.

[math]M[/math] — масса неподвижной частицы.

[math]m_{1} + m_{2}[/math] — масса подвижной частицы.

Общие сведения по теме

Примером таких систем может служить притяжение спутника и Земли, так как принцип ориентации в этих системах легко понять на примере гантели (две равные массы, соединенные жестким невесомым стержнем), центр масс которой движется по круговой орбите. Различие сил притяжения конечных масс гантели Землей приводит к появлению гравитационного момента, стремящего совместить ось гантели с направлением радиуса-вектора, соединяющего центры масс Земли и спутника. Это положение равновесия является устойчивым (случай Луны, имеющей форму слегка вытянутой дыни). Существует и неустойчивое положение равновесия, когда ось гантели совпадает с направлением касательной к орбите. Ясно, что величина управляющего гравитационного момента зависит от размеров спутника. Спутник с неравными главными центральными моментами инерции имеет на круговой орбите четыре устойчивых положения равновесия, соответствующих совпадению наибольшей оси эллипсоида инерции спутника с радиусом-вектором и наименьшей оси с нормалью к плоскости орбиты.

Решение

Запишем силу притяжения рассматриваемой системы тел: [math]\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}[/math].

Отсюда получаем после разложения в ряд Тейлора [math]\vec{F} = F_x\vec{i} + F_y\vec{j}[/math], где [math]F_x = \frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3}[/math] + остальные члены ряда, [math]F_y = \frac{C}{r^3}[/math].

Величины [math]A,B,C[/math] включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.

Полученное выражение для силы нужно записать в полярных координатах. Для этого спроецируем силу на вектора:

[math]\vec{e_r} = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}[/math]

[math]\vec{e}_\theta = -\sin\theta\vec{i} + \cos\theta\vec{j}[/math]

А тогда сила примет вид:

[math]\vec{F}=F_r\vec{e}_r+F_\theta\vec{e}_\theta[/math]

Момент такой системы: [math]\vec{M} = \frac{D}{r^3}\vec{k}[/math].

Величина [math]D[/math] также включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.

Запишем [math]J[/math] — момент инерции:

[math]J = 2(m_{1} + m_{2})R^2[/math], где [math]R[/math] характеризует положение центра масс подвижной частицы.

Запишем систему дифференциальных уравнений, которые и будут описывать движение несферических тел:

[math]\begin{cases} (m_{1} + m_{2})\ddot{r}_r = F_r \\ (m_{1} + m_{2})\ddot{r}_\theta = F_\theta\\ J\ddot{\theta} = M \\ \end{cases}[/math]

Где

[math]\ddot{r}_r = \dot{r} - r\dot{\theta}^2[/math]

[math]\ddot{r}_\theta = \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})[/math]

[math]F_r = (\frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3})\cos\theta + \frac{C}{r^3}\sin\theta[/math]

[math]F_\theta = -(\frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3})\sin\theta + \frac{C}{r^3}\cos\theta[/math]

Обсуждение результатов и выводы

В данной работе удалось получить уравнения, которые описывают движения тел в простом случае, то есть, когда одна частица принимается как неподвижная материальная точка, а другая частица - гантель вращается вокруг неё. Далее эту систему можно решить численно или аналитически.

Ссылки по теме

Гравитационное притяжение тел нестандартной формы

См. также

• Справочная информация
• Курсовые проекты 2012
• Курсовые проекты 2013