КП: Динамика несферических гравитирующих тел

А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты 2013 > Динамика несферических гравитирующих тел

---

Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Прокопенко Анастасия

Группа: 07 (20510)

Семестр: весна 2013

Аннотация проекта

Данный проект посвящён динамике несферических гравитирующих тел. Тела, не обладающие сферической симметрией, интересны тем, что их сила притяжения отличается от классического закона всемирного тяготения на асимптотически главный член.

Постановка задачи

Даны два несферических тела, а именно две гантели. Для выполнения первого этапа нужно считать одну из гантелей неподвижной и рассматривать её как материальную точку. Из неё проводится радиус-вектор [math]\vec{r}[/math] в центр масс второй частицы.

[math]\varphi[/math] — это угол поворота, который характеризует на сколько повернулась вторая частица относительно своего изначального положения.

[math]M[/math] — масса неподвижной частицы.

[math]m_{1} + m_{2}[/math] — масса подвижной частицы.

Общие сведения по теме

На первом этапе одна из частиц считается неподвижной и рассматривается как материальная точка. На следующем этапе планируется рассмотреть обе частицы как несферические тела, которые вращаются вокруг неподвижной точки.

Решение

Запишем силу притяжения рассматриваемой системы тел: [math]\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}[/math].

Отсюда получаем после разложения в ряд Тейлора [math]\vec{F} = F_x\vec{i} + F_y\vec{j}[/math], где [math]F_x = \frac{A}{r^2} + \frac{B}{r^3}[/math] + остальные члены ряда, [math]F_y = \frac{C}{r^3}[/math].

Величины [math]A,B,C[/math] включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.

Полученное выражение для силы нужно записать в полярных координатах. Для этого спроецируем силу на вектора:

[math]\vec{e_r} = \cos\theta\vec{i} + \sin\theta\vec{j}[/math]

[math]\vec{e}_\theta = -\sin\theta\vec{i} + \cos\theta\vec{j}[/math]

А тогда сила примет вид:

[math]\vec{F}=F_r\vec{e}_r+F_\theta\vec{e}_\theta[/math]

Момент такой системы: [math]\vec{M} = \frac{D}{r^3}\vec{k}[/math].

Величина [math]D[/math] также включают в себя массы всех тел и угол поворота подвижной частицы.

Запишем [math]J[/math] — момент инерции:

[math]J = 2(m_{1} + m_{2})R^2[/math], где [math]R[/math] характеризует положение центра масс подвижной частицы.

Запишем систему дифференциальных уравнений, которые и будут описывать движение несферических тел в данной задачи:

[math]\begin{cases} (m_{1} + m_{2})\ddot{r}_r = F_r \\ (m_{1} + m_{2})\ddot{r}_\theta = F_\theta\\ J\ddot{\theta} = M \\ \end{cases}[/math]

Учтём, что:

[math]\ddot{r}_r = \dot{r} - r\dot{\theta}^2[/math]

[math]\ddot{r}_\theta = \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})[/math]

Таким образом, окончательно получаем

[math]\begin{cases} (m_{1} + m_{2})(\dot{r} - r\dot{\theta}^2) = F_r \\ (m_{1} + m_{2})\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta}) = F_\theta\\ J\ddot{\theta} = M \\ \end{cases}[/math]

Обсуждение результатов и выводы

В данной работе удалось получить уравнения, которые описывают движения тел в простом случае, то есть, когда одна частица принимается как неподвижная материальная точка, а другая частица - гантель вращается вокруг неё. На данный момент эта система уравнений не решена, но в будущем планируется аналитически её решить и перейти к следующему этапу - сделать обе частицы подвижными.

Ссылки по теме

Гравитационное притяжение тел нестандартной формы

См. также

• Справочная информация
• Курсовые проекты 2012
• Курсовые проекты 2013