Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3

Постановка задачи

Пусть имеется тело радиуса [math]R[/math] (площадь поверхности [math]S_1=4\pi R^2[/math])с поверхности которого отделяются частицы. На расстоянии [math]r[/math] от первого тела находится частица.

Требуется подсчитать силу, с которой сфера взаимодействует с частицей.

Исходим из следующих соображений.

• Все частицы имеют одинаковую массу [math]m[/math]

• Все частицы отделяются от сферического тела

1) В радиальных направлениях

2) С одинаковой начальной скоростью [math]V_0[/math]

3) без ускорения

Решение

Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения.

[math](1):\frac{\partial n}{\partial t}+\bigtriangledown \cdot (n \vec V_0)=4\pi R^2 I \delta^3(r)[/math],

где

[math]n[/math]-концентрация частиц,

[math]I[/math]-Интенсивность испарения сферы [math]\frac{partical}{sek \cdot sm^2}[/math]

[math]\delta^3(r)[/math]-дельта функция Дирака.

Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.

[math](2):n V_0 \cdot 4\pi r^2=4\pi R^2 I[/math]

[math](3):n=\frac{R^2 I}{r^2 V_0}[/math]

Рассмотрим частичку площадью [math]4\pi a^2[/math], ("эффективная" площадь [math]S_2=\pi a^2[/math]) находящеюся на расстоянии [math]r[/math], от излучающего тела. Тогда переданный импульс при абсолютно-упругом ударе за время [math]\Delta t[/math] будет

[math](4):\Delta p=\frac{2 m \Delta t V_0 \pi a^2 R^2 I}{r^2}[/math],

отсюда

[math](5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=2m\pi V_0 I\frac{a^2 R^2 }{r^2}=\frac{m V_0 I}{8\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}[/math]

Постановка задачи

В условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования.

Решение

Если среда, где распространяется излучение, не пустая присутствует экранирующий эффект, тогда , в соответствии с [работой], как

[math](6):n=\frac{R^2 I}{r^2 V_0} exp(\rho S r ) [/math], где

[math]\rho=\rho(r)[/math] -концентрация пылинок.

[math]S[/math] -эффектная площадь частиц среды.

[math](7):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{m V_0 I}{8\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}exp(\rho S r )=\frac{K}{4}\frac{S_1 S_2 }{r^2}exp(\rho S r )[/math]

Постановка задачи

Для испаряющейся с интенсивностью [math]I[/math] сферической частицы площадью [math]S_1[/math], в среде с частицами с концентрацией [math]\rho[/math] и площадью [math]S[/math] написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r.

Решение Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной частицы,радиуса [math]a[/math] внесенной в отталкивающее поле, получим связь силы и потенциала:

[math] \varphi=-\int F dr= [/math] и

[math]\varphi=-\int \frac{4 F}{S_2} dr=K S_1 \rho S \left(\frac{exp(\rho S r)}{\rho S r}+Ei(1,-\rho S r)\right)[/math]

P.S.Для гравирующей частицы потенциал будет очевидно равен:

[math]\varphi=-G\frac{m}{r}+ K S_1 \rho S \left(\frac{exp(\rho S r)}{\rho S r}+Ei(1,-\rho S r)\right)[/math]

[math](8:)\varphi=-G\frac{m}{r}+ K S_1\left( \frac{exp(\rho S r)}{r}+\rho S \cdot Ei(1,-\rho S r)\right)[/math]

Некоторые уравнения

Для простоты рассматриваем бесстолкновительные системы

Функция распределения должна удовлетворять кинетическому уравнению Больцмана

[math] \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}} + \mathbf{F}\cdot m\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} [/math]

Здесь F(r, t) — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а m — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интеграл столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе.

Поэтому

[math] \mathbf{v}\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}} + \mathbf{F}\cdot m\cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} = 0 [/math]