Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3

Постановка задачи Пусть имеется тело радиуса [math]R[/math] с поверхности которого отделяются частицы. На расстоянии [math]r[/math] от первого тела находится небольшая площадка.

Требуется подсчитать силу, с которой сфера взаимодействует с площадкой.

Исходим из следующих соображений.

• Все частицы имеют одинаковую массу [math]m[/math]

• Все частицы отделяются от сферического тела

1) В радиальных направлениях

2) С одинаковой начальной скоростью [math]V_0[/math]

3) без ускорения

Решение

Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения.

[math](1):\frac{\partial n}{\partial t}+\bigtriangledown \cdot (n \vec V_0)=4\pi R^2 I \delta^3(r)[/math],

где

[math]n[/math]-концентрация частиц,

[math]I[/math]-Интенсивность испарения сферы [math]\frac{partical}{sek \cdot sm^2}[/math]

[math]\delta^3(r)[/math]-дельта функция Дирака.

Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.

[math](2):n V_0 \cdot 4\pi r^2=4\pi R^2 I[/math]

[math](3):n=\frac{R^2 I}{r^2 V_0}[/math]

Рассмотрим небольшую площадку площадью [math]S=\pi a^2[/math], находящеюся на расстоянии [math]r[/math], от излучающего тела. Тогда переданный импульс при абсолютно-упругом ударе за время [math]\Delta t[/math] будет

[math](4):\Delta p=\frac{2 m \Delta t V_0 \pi a^2 R^2 I}{r^2}[/math],

отсюда

[math](5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=2m\pi V_0 I\frac{a^2 R^2 }{r^2}[/math]

Постановка задачи

В условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования.

Решение

Если среда, где распространяется излучение, не пустая присутствует экранирующий эффект, тогда , в соответствии с [работой], как

[math](6):n=\frac{R^2 I}{r^2 V_0} exp(\rho S r ) [/math], где

[math]\rho[/math] концентрация пылинок.

[math]S[/math] эффектная площадь частиц среды.

[math](7):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=2m\pi V_0 I \frac{a^2 R^2 exp(\rho S r )}{r^2}[/math]

Постановка задачи

Для испаряющейся с интенсивностью [math]I[/math] сферической частицы радиуса [math]R[/math], в среде с частицами с концентрацией [math]\rho[/math] и площадью [math]S[/math] написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r.

Решение Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной частицы,радиуса [math]a[/math] внесенной в отталкивающее поле, получим связь силы и потенциала:

[math]F=-a^2 \bigtriangledown \varphi[/math] и

[math]\varphi=-\int \frac{F}{a^2} dr=2 \pi m V_0 I R^2 \rho S \left(\frac{exp(\rho S r)}{\rho S r}-\int\frac{exp(\rho S r)}{r}\right) = \beta \cdot \alpha\cdot R^2 \left(\frac{exp(\alpha r)}{\alpha r}+Ei(1,-\alpha r)\right)[/math]

P.S.Для гравирующей частицы потенциал будет очевидно равен:

[math]\varphi=-G\frac{m}{r}+\beta \cdot \alpha\cdot R^2 \left(\frac{exp(\alpha r)}{\alpha r}+Ei(1,-\alpha r)\right)[/math]

Если принять тот факт, что вся среда состоит из сферических частиц радиуса [math]R[/math], то последнее выражение можно записать в виде:

[math]\varphi=-G\frac{4R}{3}\frac{\alpha}{r}+\beta \cdot \alpha\cdot R^2 \left(\frac{exp(\alpha r)}{\alpha r}+Ei(1,-\alpha r)\right)[/math]