Устинова Алеся: Определение временных характеристик разрушения

Введение

Процесс разрушения представляет собой сложный многоступенчатый временной процесс, начинающийся задолго до появления видимых трещин и заканчивающийся прорастанием трещины и разделением тела на части.

Закономерности процесса разрушения изучаются на различных масштабных уровнях с помощью тончайших физических экспериментов. На каждом масштабном уровне (от атомно-молекулярного до макроразмеров порядка километров) предлагаются определённые физические модели процесса разрушения, учитывающие параметры структуры и условия перехода разрушения с одного масштабного уровня на другой.

Согласно энергетической модели разрушения, практически использованной Гриффитсом А.А. в 1920 г., условием развития трещины является подвод энергии к её вершине. При разрушении находящегося под напряжением элементарного кубика с ребром длиною R освобождается энергия его упругого деформирования

 [math]
    U_u = \int_0^{\triangle R}{F_u dx} = ERxdx = ER \frac{\triangle R^2}{2}= \frac{\sigma^2 R^3}{2E},
  [/math]

где

 [math] 
    F_u=\sigma R^2 = \frac{Ex R^2}{R} = ERx [/math] - сила упругого деформирования кубика,
 Е - модуль упругости материала, [math] \triangle R = \frac{\sigma R}{E}  [/math] - абсолютное удлинение одной из сторон кубика при его одноосном растяжении.

Приращение длины разрыва (трещины) на величину dR приведёт к высвобождению дополнительного количества энергии упругого деформирования, равного σ ² R ² dR / 2E. С другой стороны, образование разрыва приводит к увеличению площади поверхности и поверхностной энергии тела на величину γ R dR (γ - удельная работа разрушения на единицу площади новой поверхности). Рассмотрев условия энергетического баланса и приравняв оба этих значения, получим формулу Гриффитса для разрушающих напряжений тела с трещиной и критического размера R_кр трещины, после достижения которого начинается самопроизвольный её рост в поле создаваемых ею перенапряжений

σ ~ √ 2 γ E / R

R_кр ~ 2 γ E / σ ²

Несколько иная (силовая) модель разрушения была предложена Ирвином, в которой критерием роста трещины был принят момент достижения критического значения коэффициентом интенсивности напряжений К, являющимся функцией только характера внешнего нагружения, геометрии тела и размеров трещины. Согласно предложению Ирвина, трещина не развивается, когда значения К не превышают некоторой критической. Интенсивность напряжений - это некоторая фиктивная величина, связанная с главными напряжениями и используемая для оценки сложного напряжённого состояния.

Деформация упругого полупространства под действие поверхностных сил

Рисунок 1 а) На поверхности упругого полупространства приложены силы б) Сила, действующая на поверхности системы

Рассмотрим упругую среду (см. рис. 1).

Сдвиги, вызванные силой:

 [math]
    U_x=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{xz}{r^3}-\frac{(1-2\nu)x}{r(r+z)}\right)F_z,
  [/math]
 [math]
    U_y=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{yz}{r^3}-\frac{(1-2\nu)y}{r(r+z)}\right)F_z,
  [/math]
 [math]
    U_z=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{2(1-\nu)}{r}+\frac{z^2}{r^3}\right)F_z,
  [/math]

где

 [math]
    r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
  [/math].

Смещение свободной поверхности z=0

 [math]
    U_x=-\frac{(1+\nu)(1-2\nu)}{2\pi E}\frac{x}{r^2}F_z
  [/math],
 [math]
    U_y=-\frac{(1+\nu)(1-2\nu)}{2\pi E}\frac{y}{r^2}F_z
  [/math],
 [math]
    U_z=\frac{(1-\nu^2)}{\pi E}\frac{1}{r}F_z
  [/math],

где

 [math]
    r=\sqrt{x^2+y^2}
  [/math].

в случае непрерывного распределения P (х,у) нормального давления, смещение поверхности

 [math]
    U_z=\frac{1}{\pi E^*}\iint p(x',y')\frac{dx'dy'}{r}
  [/math]
 [math]
    r=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}
  [/math]

где

 [math]
    E^*=\frac{E}{1-\nu^2}
  [/math]

Предположим, что в круговой области радиуса, распределение давления

 [math]
    p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^n
  [/math]

Распределение давления Герца (n=1/2)

 [math]
    p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}
  [/math]

приводит к вертикальному перемещению

 [math]
    U_z=\frac{\pi p_0}{4E^*a}(2a^2-r^2)
  [/math]

Полная сила

 [math]
    F=\int_0^a{p(r)2 \pi rdr} = \frac {2}{3}p_0 \pi a^2
  [/math]

Контакт Герца

Рисунок 2 Жесткий шар в контакте с упругим полупространством

На рисунке 2 схематически показан контакт между жесткой сферой и упругим полупространством. Смещение точек поверхности и площадь контакта между первоначально плоской поверхностью и жесткой сферой радиусом R равна

 [math]
    U_z=d-\frac{r^2}{2R}
  [/math]

Уравнение вертикальных перемещений, является квадратичным распределением вертикальных смещений по распределению давления в форме.

Подберем параметры [math]a[/math] и [math]p_0[/math], так что распределение давления точного перемещения, вызванные:

 [math]
    \frac{1}{E^*} \frac{\pi p_0}{4a} (2a^2-r^2)=d-\frac{r^2}{2R}
  [/math]

[math]a[/math] и [math]d[/math] должны отвечать следующим требованиям

 [math]
    a=\frac{\pi p_0 R}{2E^*},  d=\frac{\pi a p_0}{2E^*}
  [/math]

контакт с радиусом

 [math]
    a^2=Rd
  [/math] 

максимальное давление

 [math]
    p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}
  [/math] 

получаем Нормальная сила

 [math]
    F=\frac{4}{3} E^* R^{1/2} d^{3/2}
  [/math]

Контакт между двух упругих тел с изогнутыми поверхностями

Рисунок 3. Контакт между двумя телами с изогнутыми поверхностями

Оба тела упруги, поэтому воспользуемся следующим выражением [math]E^*[/math]

 [math]
    \frac{1}{E*}=\frac{1- \nu_1^2}{E_1}+\frac{1- \nu_2^2}{E_2}
  [/math]

[math]E_1[/math] и [math]E_2[/math] - модуль упругости, [math]\nu_1[/math] и [math]\nu_2[/math] - коэффициент Пуассона

Если у двух сфер с радиусами [math]R_1[/math] и [math]R_2[/math] в контакте (рисунок 3), то уравнения (см. выше) по-прежнему в соответствии с радиусом R

 [math]
    \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}
  [/math]

Нормальная сила:

[math] F_n = \frac{4}{3} \times E^* \times \sqrt{R^*} \times \delta_n^{\frac{3}{2}} [/math]

[math] \frac{1}{E^*} = \frac{(1-\nu_i^2)}{E_i} + \frac{(1-\nu_j^2)}{E_j} [/math]

[math] \frac{1}{R^*} = \frac{1}{R_i} + \frac{1}{R_j} [/math]

[math] F_n(\delta_n) = \frac{2}{3} \times \frac{E}{(1-\nu^2)} \times \sqrt{\frac{R}{2}} \times \delta_n^{\frac{3}{2}} [/math]

Сила адгезии:

[math] F_c = k \times A [/math]

[math] A = \pi \times h^2 [/math]

A - площадь круга

[math] h = \sqrt{R^2 - (R-\frac{\delta_n}{2})^2} [/math]

h - 1/2 хорды

[math] F_c(\delta_n) = k \times \pi \times (R^2 - (R - \frac{\delta_n}{2})^2) [/math]

[math] F = F_n(\delta_n) + F_c(\delta_n) [/math]

[math] F = \delta_n (k \pi (R - \frac{\delta_n}{4}) + \frac{E \sqrt{2 R \delta_n}}{3 (1 - \nu^2)}) [/math]

История разрушений

Ссылки

Механизмы разрушения

Испытания металлов

Тех

См. также

• Устинова Алеся