Степанов Алексей. Курсовой проект по теоретической механике
Содержание
Тема проекта
Описание колебаний плавающих тел.
Постановка задачи
Найти уравнение колебаний для следующих тел:
1) Шар
2) Параллелепипед
- Вертикальные колебания
- "Бортовая качка"
Решение
1) Шар
ПУР:
- начальная глубина погружения - плотность жидкости - радиус шара
Второй закон Ньютона примет вид:
После возведения в квадрат получаем:
Проводим линеаризацию уравнения
Раскроем скобки:
В результате имеем:
;
Так как формула имеет вид
Остается проверить размерность величины
Уравнение колебаний найдено.
2) Вертикальные колебания параллелепипеда
ПУР:
- начальная глубина погружения - плотность жидкости - площадь сечения
Второй закон Ньютона примет вид:
После сокращения:
Остается проверить размерность величины
Уравнение колебаний найдено.
2) Бортовая качка
Очевидно, что модуль силы Архимеда остается постоянным(так как постоянным остается объем погруженной части тела в силу симметрии тела).
Меняется только точка приложения, что и создает момент силы Архимеда, вызывающий колебания. Тогда уравнения примут вид:
- момент инерции тела относительно центра масс - сила Архимеда - плечо силы Архимеда
Так как тело плавает
Итоговое уравнение:
Обсуждение результатов и выводы
1) Можно заметить, что угловая частота колебаний шара имеет максимум в точке
2) Интересно то, что , где l - полная высота параллелепипеда, а k - коэффициент, равный отношению жидкости тела к плотности тела
3)Пусть тело площадью сечения и массой плавает в воде( ). Период вертикальных колебаний будет равен
Предположим, что это тело - куб . Момент инерции куба относительно оси, проходящей через его центр масс, перпендикулярно поверхности , где - длина стороны куба. Тогда
4) Частоты колебаний параллелепипида оказываются схожими с частотой колебаний математического маятника при вертикальной качке и с частотой колебаний физического маятника при "бортовой качке".
Например, сравним и , - расстояние от точки подвеса до центра тяжести физ. маятника, а и высота и длина параллелепипеда соответственно.