Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 2

Вторая модель

(Черновые тезисы)

• Вопрос на который должна дать данная часть работы, можно сформулировать так: "Как изменится концентрация испарившихся молекул после прохождения через испаряющейся участок пылевого облака"

• Работа состояла из двух частей: Компьютерного 2D моделирования эксперимента и поиска аналитического решения.

• Эксперимент и аналитика дали хорошее совпадение результатов. Рисунки представлены ниже.

рис. 1. Прохождение "лучей" через неиспаряющееся облако.

рис. 2. Прохождение "лучей" в испаряющемся облаке.

рис. 3. Сумма двух вкладов.

рис. 4. Эта зависимость от расстояния при заданной концентрации.

Об аналитическом решении

Чтобы найти закон распространения радиационного излучения в облаке, воспользуемся простой моделью. Некоторый объём пространства представим в виде цилиндра с основанием [math]H[/math] и длиной [math]L[/math]. В этом цилиндре находятся частицы-сферы радиуса r.

Пусть, перпендикулярно основанию в цилиндр, по прямым траекториям входят N лучей радиационного излучения. Рассматривается случай, когда нет никаких отражений, т.е. луч упавший на сферу, ей тотчас поглощается.

Наша задача ответить на вопрос: сколько в среднем лучей достигнет противоположной стенки цилиндра?

Эта задача равносильна следующей: На некоторой поверхности [math]H[/math] нанесена в случайном месте точка. На поверхность набрасываются случайным образом [math]N[/math] окружностей площадью [math]S[/math] [math](S=\pi r^2)[/math]. Какова вероятность того, что точка останется непокрытой? Будем решать её.

Ответ легко получить из закона распределения Пуассона.

Для начала-формальное определение:

Пусть производится [math]n[/math] независимых испытаний. Если число испытаний [math]N[/math] достаточно велико, а вероятность появления события [math]А[/math] в каждом испытании мало ([math]p\in(0,1)[/math]), то вероятность появления события [math]А[/math] [math]k[/math] раз находится следующим образом:

[math]P_n(k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}[/math]

Сделаем важное допущение – произведение [math]np[/math] сохраняет постоянное значение: [math]np=\lambda[/math] Практически это допущение означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (при разном [math]N[/math]) остается неизменным.

Очевидно, что вероятность того, что точка покроется одной окружностью есть отношение площади окружности к площади поверхности:[math]p=\frac{S}{H}[/math]. Тогда для [math]N[/math] окружностей эта вероятность: [math]\lambda=\frac{n\cdot S}{H}[/math]

Вероятность, что точка будет покрыта ровна [math]к[/math] окружностями из [math]n[/math] даёт формула Пуассона.

Нас интересует случай, когда [math]k=0[/math]. Случай ,когда точка не покрылась ни одной окружностью, т.е. случай, когда луч прошёл через цилиндр со сферами ни встретив ни одну на своём пути.

Подставляя [math]k=0[/math], в формулу Пуассона, находим [math]P_n(0)=e^{-\lambda}[/math].

Поэтому из [math]N[/math] лучей в среднем пройдёт

[math]N_{ex}=N\cdot e^{-\lambda}=N\cdot e^{-\frac{n\cdot S}{H}}=N\cdot exp(-n\cdot S \cdot l) [/math].......................................(1)

лучей.

Зависимость числа пройдённых лучей от концентрации в некотором объёме проиллюстрирована на рис. 1.

Теперь рассмотрим другую ситуацию.

Тот же объём и те же шарики. Но теперь радиационное излучение не падает на стенки цилиндра, а каждый шарик излучает в произвольном направлении луч. Спрашивается, сколько лучей пройдёт через основание цилиндра?

Сперва откажемся от требования произвольности направления излучения. Пусть луч выходит из центра шарика в направлении основания [math]H[/math]. Тогда для луча с шарика, находящегося на расстоянии [math]x[/math] от поверхности [math]H[/math], вероятность прохожднения через оставшейся объём одного луча есть

[math]N_j^{*}=e^{-\frac{n\cdot S\cdot x}{H\cdot L}}[/math].................................................................(2)

где [math]L[/math] это длинна цилиндра. Соответственно, если излучается [math]I[/math] лучей, то последнее выражение надо умножить на [math]I[/math].

Чтобы найти количество лучей вышедших из бесконечно тонкого объёма, параллельного [math]H[/math], и находящегося на расстоянии [math]x[/math], очевидно необходимо (2) умножить на [math]N/L[/math].

Для всех шариков в цилиндре:

[math]N_j=\frac{N\cdot I}{L}\int_{0}^{L} e^{-\frac{n\cdot S\cdot x}{H\cdot L}} dx =\frac{N\cdot I\cdot H}{n\cdot S}(1-e^{-\frac{n\cdot S}{H}} ) [/math].................................................(3)

Для того, чтобы учесть случайность направления луча, следует выражение (3) умножить на вероятность того, что луч попадёт в угловой сегмент с основанием [math]H[/math] и вершиной в центре частички.

Иллюстрацию этого закона можно видеть на рис. 3.

К сожалению, это выражение столь сложно, что интеграл "руками" не берётся. Поэтому проводилось только численное интегрирование.

[math]N_j=\int_0^l I\cdot n\cdot \left(2\cdot arctg(\frac{H}{x})\cdot H- x\cdot ln(1+\frac{H^2}{x^2})\right)\cdot exp(-n \cdot S \cdot x)[/math]......................................................(4)

, где [math]n[/math]-концентрация пылинок

[math]I[/math]- интенсивность испарения.

Оценки для устойчивости

Две частицы в протопланетном облаке взаимодействуют по средством гравитации и радиационного излучения, вызванного испарением частицы.

Сила гравитационного притяжения:

[math]F_g=G\frac{m^2}{r^2}=\frac{16 \pi^2 G\rho_p^2 r_p^6}{9 r^2}[/math].......................................(5)

Сила радиационного отталкивания в пустом пространстве есть

[math]F_v=\frac{N m_0 v r_p^2}{4 r^2} [/math]

При выводе этой формулы, столкновения между молекулами не учитывалось.

Если ввести

[math]Nm_0=4\pi r_p^2 \nu[/math]- количество массы испаряющееся с пылинки за единицу времени (величина независящая от размеров частицы), то предыдущая формула перепишется, как

[math]F_v=\frac{\pi \nu v r_p^4 }{4 r^2} [/math]..................................................................(6)

[math]k=\frac{f_v}{f_g}= \frac {9\nu v}{16\pi G r_p^2 \rho^2} [/math]

При [math]k=1[/math], силы газодинамического отталкивания, полностью уравновешивают силу гравитационного притяжения (рис.5).

Для пространства заполненного другими частицами, создающими экранирующий эффект

[math]F_v=\frac{\pi \nu v r_p^4 exp(-n \cdot \pi r_p^2 \cdot r)}{r^2}[/math]..................................................................(7)

,Где [math]n[/math]-концентрация пылинок в рассматриваемом объёме.

При равенстве этих сил облако будет находиться в равновесии.

Между тем, понятно, что при любой, отличной от нуля концентрации и при любом, отличном от нуля размере пылинок будет присутствовать эффект экранирования. Взаимодействие далёких частиц будут всё более отходить от закона обратных квадратов.

Введём необходимые для дальнейшего переменные.

[math]r_p[/math]-радиус частицы,

[math]L=7.68\cdot 10^{10} sm[/math]-диаметр протопланетного облака,

[math]R=6.41\cdot 10^8 sm[/math]-радиус конденсированного вещества всего облака.

[math]V[/math]-Объём протооблака [math], V=\frac{4}{3}\pi\frac{L^3}{2^3}[/math],

[math]N[/math]- количество частиц.

[math]m[/math]-масса частицы.

[math]M=6.05\cdot 10^{27}[/math]-Масса протооблака (которая равна массе конденсированного состояния всего вещества).

[math]\rho=0.9 \frac{g}{cm^3}[/math]- плотность вещества частицы.

[math]V_0[/math]-объём конденсированного вещества всего облака.

[math]G=6.67\cdot 10^{-8}[/math]-гравитационная постоянная.

На основании этого решим несколько простых задач.

Задача 1

Какими параметрами должны обладать частицы, чтобы в протопланетном облаке, размером с систему "Земля-Луна", можно было пренебречь экранированием? Какая масса будет у такой системы? Каково время жизни частиц?

рис.5

рис.6

рис.7

Будем считать, что облако может находиться в равновесии, если отношение сил радиационного отталкивания и гравитационного притяжения отличается от единицы на некий малый параметр [math]k[/math].

[math]\frac{F_v}{F_g}\le k= 1-p[/math] ....................................................(8)

[math]p[/math]- число много меньшее 1.

[math]\frac{F_v}{F_g}=\frac{9\nu v \cdot exp(-n \cdot \pi r_p^2 \cdot r)}{16 \pi G r_p^2\rho^2 }[/math]

Среднею скорость примем равной среднему значению модуля скорости идеального газа:

[math]v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi}}[/math]

Диаметр облака равен удвоенному среднему расстоянию между Землёй и Луной ( [math]L=7.68\cdot 10^{10}[/math] см ).

Пусть на расстоянии [math]2L[/math] условие (8) становится равенством.

Условие [math]\frac{F_v}{F_g}=\frac{9\nu v }{16 \pi G r_p^2\rho^2 } =1 [/math], означает, что в отсутствии экранирования облако в равновесии.

Учёт экранирования, добавляет в произведение член [math] exp(-n \cdot \pi r_p^2 \cdot 2L)[/math]. Следовательно этот член равен [math]k[/math].

[math] n \cdot \pi r_p^2 \cdot L=-ln(k) [/math]

Выразим эту зависимость через более удобные величины:

Будем считать, что облако сферическое.

[math]S=\pi r_p^2[/math]

[math]n=\frac{N}{V}[/math],

но [math]N=\frac{(4/3)\pi R^3}{(4/3)\pi r_p^3}=\frac{R^3}{r_p^3}[/math],

Поэтому [math]n=6\left(\frac{R}{r_p}\right)^3 \frac{1}{\pi L^3}[/math]

Тогда [math]n \cdot S \cdot L=\pi r_p^2 \cdot \frac{R^3}{r_p^3} \frac{6}{\pi L^3} \cdot L= 6 \left( \frac{r_p}{L}\right)^2 \left( \frac{R}{r_p}\right)^3[/math]

Ответ задачи:

В протопланетном облаке, фиксированного размера можно пренебречь экранированием, если будет выполняться условие:

[math]6 \left( \frac{r_p}{L}\right)^2 \left( \frac{R}{r_p}\right)^3=-ln(k)[/math],

где [math]k[/math]- число меньшее 1.

Если принять [math]k=0.99[/math].

[math] n \cdot r_p^2=0.8\cdot 10^{-13} [/math]

Тогда построим зависимость концентрации от радиуса частицы, при условии сохранения постоянным их произведения рис.5.

Радиус порядка [math]10^{-6}[/math] см, всего в 100 раз больше характерных размеров молекул водяного пара.

На рис. 6 приведена зависимость времени жизни частицы от радиуса. Интенсивность испарения расчитыалась из предпосылки исходного равновесия облака.

Время жизни определяется из формулы

[math]t_{max}=\frac{\rho r_p}{\nu}[/math]

На рис. 7 Масса протопланетного облака от размеров частиц. То что она растёт линейно, не удивительно. Ибо масса частиц хоть и увеличивается как куб радиуса, зато их концентрация падает, как квадрат радиуса.

Значение Итоговой Массы в [math]10^{14}[/math] много меньше массы Земли ([math]10^{24}[/math])

Задача 2

рис.7

рис.8

Какие параметры будут у частиц, при фиксированных размере и массе протооблака? Каково время жизни частиц?

Понятно, что требовать, чтобы каждая частица взаимодействовала с каждой, глупо, так как на больших расстояниях случайные флуктуации космологических факторов (давление света, плотность газа, случайные грав. сгустки.) будут оказывать на частицы большее воздействие.

Поэтому необходимо ввести радиус обрезания гравитационных сил.

Предположим помимо устойчивости облака то, что его масса порядка 1/10 массы системы Земля-Луна, то есть [math]6\cdot 10^{26}[/math] грамм.

Задача состоит в том, чтобы найти такой радиус обрезания [math]l[/math] рассматриваемых сил, чтобы выполнялось условие

[math]nSl=-ln(k)[/math]

Так как

[math]n=6\left(\frac{R}{r_p}\right)^3 \frac{1}{\pi L^3}[/math]

Поэтому

[math]6 \left(\frac{R}{r_p}\right)^3\left(\frac{r_p}{L}\right)^2\left(\frac{l}{L}\right)=-ln(k)[/math]

Для удобства выделим массу вещества протооблака.

Ответ задачи:

[math]\frac{9}{2\pi} \left(\frac{M}{\rho}\right)\left(\frac{1}{L}\right)^3\left(\frac{l}{r_p}\right)=-ln(k)[/math]

Коэффециент [math]k=0.99[/math] оставим без изменения.

Тогда подставляя заданные значения величин, получаем что радиус обрезания [math]l=59.76 \cdot r_p[/math].

На рис.7 зависимость концентрации частиц от их радиуса.

На рис.8 Зависимость времени жизни от радиуса частицы.

Интенсивность испарения выбрана равной

[math]\nu=1.38\cdot 10^{-11} \frac{kg}{cm^2\cdot sek}[/math]

Другой подход к от[math]ы[/math]сканию условия равновесия протопланетного облака

Идея: А.М.Кривцов

Обозначения:

[math]V[/math]-объём протооблока.

[math]V_{\sigma}[/math]-объём частицы.

[math]V_0[/math]-суммарный объём всех частиц, т.е. объём конденсированной фазы всего вещества протооблака.

[math]R[/math]-радиус протооблака.

[math]R_0[/math]-радиус конденсированной фазы вещ-ва протооблака.

[math]\rho[/math]-радиус частицы. Частицы сферические.

[math]\nu[/math]-концентрация частиц.

[math]r[/math]-Отношение объёма облака к площади поверхности. Характеризует его форму.

[math]\sigma[/math]- площадь поверхности частицы.

[math]N[/math]-количество частиц в протооблаке. [math]N=\nu\cdot V[/math].

Рассмотрим разряженное протопланетное облако. Эффект экранирования возникает, когда между двумя рассматриваемыми частицами существует третья частица. Рассмотрим цилиндр- с площадью оснований, равных площади окружности, на которых построена сферческая частица

[math]V=\pi (\rho)^2 r[/math]. Для того, чтобы не было экранирования должно выполняться [math]k=\sigma \nu r \ll 1[/math]

[math]\nu=\frac{N}{V}[/math] и [math]N=\frac{V_0}{V_{\sigma}} \rightarrow \nu=\frac{V_0}{V}\frac{1}{V_{\sigma}}[/math]

[math]V_{\sigma}=\frac{4}{3}\pi\rho^3[/math] ; [math]\sigma=\pi\rho^3[/math]

Поэтому, отсюда получаем выражение для малого параметра [math]k[/math]:

[math]k=\sigma \nu \frac{\rho}{3}=\pi\rho^2\frac{3}{4\pi\rho^3}\frac{V_0}{V} r=\frac{3}{4}\frac{V_0}{V}\frac{r}{\rho}[/math]

[math]k=\frac{3}{4}\frac{V_0}{V}\frac{r}{\rho}[/math]

Теперь рассмотрим шарообразное облако:

Для [math]k[/math] имеем: [math]k=\frac{3}{4}\frac{R_0^3}{R^3}\frac{r}{\rho}[/math]

А если среднее расстояние между частицами в нём равно радиусу облака, то

[math]k=\frac{3}{4}\frac{R_0^2}{R^2}\frac{R_0}{\rho}[/math]

И от сюда:

[math]\frac{R}{R_0}=\sqrt{\frac{3}{4}\frac{R_0}{k \rho}}[/math]

Задача 3

Найти связь предыдущего примера с ранее рассмотренным подходом.

Для этого сравним результаты в случае шарового протооблака.

Воспользуемся формулой из Задачи 1, так как именно в ней, рассматривается возможность взаимодействия частиц на расстояниях порядка размера протооблака. Но в Задаче 1 рассматривалось отношение сил концах диаметра облака, а в предыдущей задаче, всего лишь на концах радиуса. Для того чтоб свести одну задачу к другой, нужно в формуле

[math]n \cdot S \cdot L= 6 \left( \frac{r_p}{L}\right)^2 \left( \frac{R}{r_p}\right)^3[/math], под [math]L[/math], подразумевать радиус протооблака.

Тогда вместо 6, будет стоять 3.

[math]3 \left( \frac{r_p}{L}\right)^2 \left( \frac{R}{r_p}\right)^3=-ln(k)=k^{*}[/math]

Проделаем элементарные алгебраические преобразования и получим ответ.

Ответ задачи

[math]\frac{L}{R}=\sqrt{3\frac{R}{k^{*} r_p}}[/math], что отличается от вышеполученного ответа в 1/2 раза.

Возможно всё дело в разном подходе к определению малого параметра [math]k (k^{*})[/math].

Разобранный пример позволяет связать искусственно подбираемый в Задаче 1 малый параметр с параметрами протопланетного облака.

Задача 4

Получить конкретные параметры протопланетного облака, которое будет жить достаточно долго.

Как оказалось, учёт взаимодействия каждой частицы с каждой, не привёл к удовлетворительным результатам, поэтому будем использовать радиус обрезания сил взаимодействия. Понятно, что разность гравитационной и радиационной силы, при их общем стремлении функций к нулю, будет расти. Введём радиус обрезания таким образом, чтобы разность между силами радиационного отталкивания и гравитационного притяжения по модулю была равна силе светового давления на расстоянии 1 а.е.

Как известно давление солнечного света на перпендикулярную свету зеркальную поверхность, находящуюся в космосе в районе Земли равно примерно [math]P_s=4.5 \cdot 10^{-6} \frac{N}{m^2}=4.5\cdot 10^{-10} \frac{N}{sm^2}[/math]. [math]F_s=[/math]

[math]F_g-F_v=F_s[/math].........................(9)

Предположим, что параметры облака, таковы, что в отсутствии экранирования [math]F_g=F_v[/math]. Необходимые соотношения обсуждались выше.

Если же учитывать экранирование, то

[math]F_v=F_g\cdot exp(-nSl)[/math]

Тогда, уравнение (9) перепишется так:

[math]\frac{16 \pi^2 G\rho_p^2 r_p^6}{9 r^2}(1-e^{-nSl})=F_s[/math] .................................(10)

надо найти такое [math]l[/math], чтобы выполнялось это условие.

Явно найти решение этого уравнения мне не удалось, поэтому я поступил следующим образом: Пусть на [math]r[/math] [math]exp(-nSr)[/math] равна некой константе [math]k[/math]. Эта константа очень мала и задаётся заранее. Тогда (10) легко решить. Найдя [math]l[/math], мы можем найти концентрацию макрочастиц из известной и заданной заранее [math]k[/math].

[math]\frac{16 \pi^2 G\rho_p^2 r_p^6}{9 l^2}(1-k)=F_s[/math]

То есть имеем систему уравнений.

1) Условие равновесия в отсутствии экранирования:

[math] \frac {9\nu v}{16\pi G r_p^2 \rho_p^2}=1[/math]

От сюда находим необходимую интенсивность испарения частиц

[math]\nu=\frac{16\pi G r_p^2 \rho_p^2}{9 v}[/math]

2) Уравнение для радиуса действия рассматриваемых сил.

[math]l=\sqrt{\frac{16 \pi^2 G\rho_p^2 r_p^6}{9 F_s}(1-k)}[/math]

3) Уравнение для концентрации протопланетного облака:

[math]n=\frac{-ln(k)}{\pi r_p^2 l}[/math]

или

[math]\frac{9}{2\pi} \left(\frac{M}{\rho}\right)\left(\frac{1}{L}\right)^3\left(\frac{l}{r_p}\right)=-ln(k)[/math]

Решая эту систему уравнений, находим:

[math]l=-\frac{243}{2}\cdot\frac{\sqrt{F_s\cdot G \cdot (1-k)}\cdot M^3}{F_s\cdot \pi^2 \cdot ln(k)^3 \cdot \rho_p^2\cdot L^9}[/math]

[math]r_p=-\frac{9}{2} \cdot\frac{M}{ln(k)\cdot \pi \cdot \rho \cdot L^3}[/math]

[math]\nu=\frac{36\cdot G \cdot M^2}{v \cdot ln(k)^2 \cdot \rho\cdot L^6}[/math]

Ссылки по теме

• Снимки зарождающихся планетных систем в туманности Ориона, полученные космическим телескопом Хаббл
• А. Мурачев. Некоторые замечания по модели образования системы Земля-Луна в результате ротационного коллапса газопылевого облака (черновые наброски). Скачать презентацию, pptx: 2741 kb