Моделирование цепочки

Курсовая работа по Введению в механику дискретных сред

Исполнитель: Новоселова Софья

Группа: 5030103/90101

Семестр: осень 2022

Постановка задачи

В рамках курсовой работы требуется смоделировать падение конца сложенной вдвое цепочки под действием силы тяжести методами МДС и определить зависимость ускорения последней частицы от времени

Математическая модель

Уравнение движения:

[math] m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}+\underline{F}_{i+1} + m\underline{g}\\ \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n [/math]

где [math] \underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\ [/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно, а [math] \underline{F}_{g}=-mg \\ [/math] - сила тяжести.

Распишем силы упругости:

[math] \underline{F}_{i+1}= c(|\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}| - l_0)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{|\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}|} [/math], где [math]c[/math] - коэффициент жесткости пружины. Аналогично для [math]\underline{F}_{i-1}[/math].

Далее подставляя все силы в уравнение движения, получим:

[math] m\underline{\ddot{r}}_i(t)= c(||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i|| -l_0)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i||} + c(||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i|| - l_0)\frac{(\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i||} - mg\underline{k}\\ [/math]

Решение произведем с помощью метода Верле c нулевыми начальными условиями для первой частицы:

[math] \begin{cases} V_{i+1} = V_i+A_i\Delta{t}\\ X_{i+1} = X_i+V_{i+1}\Delta{t}, \end{cases} [/math]