Постановка задачи
Рассмотреть перераспределение энергии между вращательными и поступательными степенями свободы в системе из N тел-точек, соединенных друг с другом балками Бернулли-Эйлера.
Вывод уравнений
Рассматривается система из N тел-точек. Каждое [math]i[/math]-ое тело имеет две степени свободы - смещение вдоль вертикальной оси [math]y_{i}[/math], и угол поворота относительно вертикальной оси [math]\phi_{i}[/math].
Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера.
Движение каждого тела - точки описывается уравнениями:
[math]
J \ddot{\phi_{i}} = -M_{i-1}(l) + M_{i}(0)
[/math]
[math]
m \ddot{y_{i}} = F_{i-1}(l) - F_{i}(0),
[/math]
где [math]J - [/math]момент инерции тела-точки.
Моменты и силы находим по определению:
[math]
M = E \cdot J_{b} \cdot y''(x)
[/math]
[math]
F = E \cdot J_{b} \cdot y'''(x),
[/math]
где [math]E - [/math] модуль юнга материала балки, [math]J_{b} - [/math] момент инерции сечения балки.
Вид функции y(x) найдем из уравнения Балки - Бернулли Эйлера:
[math]
E \cdot J_{b} \cdot y^{(4)} = 0
[/math]
получаем:
[math]
y(x) = c_1 \frac{x^3}{6} + c_2 \frac{x^2}{2} + c_3x + c_4
[/math]
[math]
\phi(x) = y'(x) = c_1 \frac{x^2}{2} + c_2x + c_3
[/math]
Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия.
Для [math]i - [/math]ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая [math]i - 1[/math] и [math]i[/math] тела:
[math]
y(0) = y_{i-1}
[/math]
[math]
y(l) = y_{i}
[/math]
[math]
\phi(0) = \phi_{i-1}
[/math]
[math]
\phi(l) = \phi_{i}
[/math]
и на участке, соединяющим [math]i[/math] и [math] i+1 [/math] тела-точки:
[math]
y(0) = y_{i}
[/math]
[math]
y(l) = y_{i+1}
[/math]
[math]
\phi(0) = \phi_{i}
[/math]
[math]
\phi(l) = \phi_{i+1}
[/math]
где [math]l - [/math]длина балки.
Учитывая граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения [math]i - [/math]ого тела:
[math]
y_{i} = \frac{EJ_{b}}{m}(\frac{12}{l^3}(y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}) - \frac{6}{l^2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
[/math]
[math]
\phi_{i} = \frac{EJ_{b}}{J}(\frac{6}{l^2}(y_{i+1}-y_{i}) - \frac{2}{l}(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
[/math]
Обезразмеривание уравнений движения
Перепишем уравнения, полученные в предыдущем пункте, в виде:
[math]
\frac{d^2(\frac{y_{i}}{l})}{d(t\omega_{1})^2} = ((\frac{y_{i+1}}{l}-2\frac{y_{i}}{l}+\frac{y_{i-1}}{l}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
[/math]
[math]
\frac{d^2\phi_{i}}{d(t\omega_{1})^2} = \frac{\omega_{2}^2}{\omega_{1}^2}(3(\frac{y_{i+1}}{l}-\frac{y_{i}}{l}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
[/math]
гд
[math]
\omega_{1}^2 = \frac{12EJ_{b}}{ml^3}
[/math]
[math]
\omega_{2}^2 = \frac{2EJ_{b}}{Jl}
[/math]
положим равными единицам.
Получили обезразмеренные уравнения:
[math]
\overline{y_{i}}'' = \frac{d^2\overline{y_{i}}}{d(\tau)^2} = ((\overline{y_{i+1}}-2\overline{y_{i}}+\overline{y_{i-1}}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1}))
[/math]
[math]
\phi_{i}'' = \frac{d^2\phi_{i}}{d(\tau)^2} = (3(\overline{y_{i+1}}-\overline{y_{i}}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1}))
[/math]
Обезразмеривание энергии
Кинетическая энергия данной системы состоит из суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движений:
[math]
T = \sum_{i=1}^N \frac{m\dot{y_{i}}^2}{2} + \sum_{i=1}^N \frac{J\dot{\phi_{i}}^2}{2}
[/math]
Для обезразмеривания перепишем вышеприведенное выражение в виде:
[math]
T = \sum_{i=1}^N \frac{ml^2\omega_{1}^2}{2}\left(\frac{d\frac{y_{i}}{l}}{d(t\omega_{1})}\right)^2 + \sum_{i=1}^N \frac{J\omega_{1}^2}{2}\left(\frac{d\phi}{d(t\omega_{1})}\right)^2
[/math]
Получаем обезразмеренную энергию:
[math]
\overline{T} = \frac{T}{ml^2\omega_{1}^2} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} + \sum_{i=1}^N \frac{J}{ml^2}\frac{(\phi')^2}{2}
[/math]
Осталось вычислить коэффициент перед обезразмеренной кинетической энергией вращательного движения: [math] \frac{J}{ml^2}[/math]
Для этого воспользуемся видом частот [math]\omega_{1}^2[/math] и [math]\omega_{2}^2 [/math], полученные в предыдущем пункте и получим, что [math] \frac{J}{ml^2}= \frac{1}{6}[/math]
Окончательно, обезраземеренная кинетическая энергия системы примет вид:
[math]
\overline{T} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2} + \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N \frac{(\phi')^2}{2}
[/math]
Обозначим обезразмеренную кинетическую энергию вращательного движения
[math]
\overline{T_t} = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N \frac{(\phi')^2}{2}
[/math]
а обезразмеренную кинетическую энергию поступательного движения
[math]
\overline{T_p} = \sum_{i=1}^N \frac{(\overline{y_{i}}')^2}{2}
[/math]
Визуализация
Рассмотрим для системы из 50 частиц и времени [math]\tau = 100[/math] три случая:
1. В начальный момент времени энергия поступательного движения [math] \overline{T_p} = 0[/math], а энергия вращательного движения задается случайным образом [math] \overline{T_t} = 0.835931 [/math]
В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:
Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна [math] \overline{T_p} = 0.102359 [/math], а вращательного [math] - \overline{T_t} =0.315561 [/math]
2. В начальный момент времени энергия вращательного движения [math] \overline{T_t} = 0[/math], а энергия поступательного движения задается случайным образом [math] \overline{T_p} = 5.82806 [/math]
В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:
Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна [math] \overline{T_p} = 2.18867 [/math], а вращательного [math] - \overline{T_t} = 0.787559 [/math]
3. В начальный момент времени и энергия вращательного движения и энергия поступательного движения задаются случайным образом [math] \overline{T_p} = 5.06865 [/math], [math] \overline{T_t} = 0.918032[/math]
В данном случае перераспределение энергий выглядит следующим образом:
Средняя по всему времени реализации энергия кинетической энергии поступательного движения равна [math] \overline{T_p} = 2.05775 [/math], а вращательного [math] - \overline{T_t} = 1.01699 [/math]
