Определение упругих модулей материала

Введение

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств различных материалов.

В данной работе рассматриваются два упругих модуля - коэффициент Пуассона и модуль Юнга. Вычисление модулей упругости материала ведется с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД).

Алгоритм компьютерного эксперимента

Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.

На первом этапе вычисления находится положение равновесия материала в растянутом состоянии. При этом задается растяжение вдоль одной из оси симметрии решетки. На этом этапе решается динамическая задача достижения положения равновесия. Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование ведется методом центральных разностей. Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются во временных точках, разделенных интервалами, равными шагу интегрирования, а скорости вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:

[math]\underline{v} (t + \tau / 2) = \underline{v} (t - \tau / 2) + \underline{w} (t) \tau[/math]

[math]\underline{r} (t + \tau) = \underline{r} (t) + \underline{v} (t + \tau / 2) \tau,[/math]

где [math]\tau[/math] – шаг интегрирования. Ускорение [math]\underline{w}(t)[/math] вычисляется через приложенную к частице силу. На втором этапе находятся силы, приложенной к одной частице, рассматриваемая область разбивается на квадратные ячейки со стороной, не меньшей [math]R + D[/math]. Рассматриваются все частицы, находящиеся в одной ячейке, либо в соседних ячейках к ячейке, где находится частица, для которой вычисляется приложенная сила. При вычислении ставятся фиксированные граничные условия. представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на соседние с ним атомы. Эта часть содержит вычисление значения производных от одного слагаемого потенциальной энергии системы, т.е. потенциальной энергии, приходящейся на один атом.

На втором этапе механические напряжения в решетке вычисляются по формулам:

[math] {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i = \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i = \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), [/math]

иначе

[math] {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i = \frac{1}{V} \sum_{\alpha} \frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i} (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), \quad \Pi^i = \frac{1}{2} \sum_{j (\neq i)} V_{ij} [/math]

Здесь [math]{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i[/math] – тензор механических напряжений для частицы (атом углерода) с номером [math]i[/math]. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений [math]({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)[/math] по всем частицам. [math]V[/math] – объем ячейки периодичности (в двумерной постановке – площадь). [math]\underline{F}_{\alpha}^i[/math] – векторный коэффициент, равный [math]\displaystyle 2 \frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i}[/math], где [math]\alpha[/math] – номер соседней частицы к частице с номером [math]i[/math]. [math]\underline{A}_{\alpha}^i[/math] – вектор относительного положения соседней частицы: [math]\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i[/math], где [math]\underline{r}_i[/math] – радиус-вектор частицы с номером [math]i[/math], [math]\underline{r}_{\alpha}^i[/math] – радиус-вектор соседней частицы ([math]\alpha[/math]). [math]V_{ij}[/math] – энергия, приходящаяся на одну связь.

В трехмерном материале коэффициенты упругости определяются через следующие выражения:

[math] \begin{array}{l} \sigma_1 = C_{11} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\quad \sigma_2 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{11} \varepsilon_{22} + C_{12} \varepsilon_{33},\\ \sigma_3 = C_{12} \varepsilon_{11} + C_{12} \varepsilon_{22} + C_{11} \varepsilon_{33},\\ \tau_{12} = 2 C_{44} \varepsilon_{12},\quad \tau_{23} = 2 C_{44} \varepsilon_{23},\quad \tau_{31} = 2 C_{44} \varepsilon_{31}. \end{array} [/math]

Третий этап представляет собой нахождение упругих модулей по тензорам напряжений и деформации.

Модули упругости выражаются по формулам:

[math] \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})}, где E - модуль Юнга, \nu - коэффициент Пуассона [/math]