Круговая рамка (48.24)

Задача 48.24 из сборника задач Мещерского : составить уравнения движения материальной точки по круговой рамке и смоделировать систему на языке программирования JavaScript.

Условие задачи

Материальная точка массы m движется по круговой рамке радиуса a, которая вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикального диаметра AB. Составить уравнение движения точки и определить момент M, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости.

Используемые библиотеки

• three.js
• stats.js
• dat.gui.js

Решение задачи

Используем уравнение Лагранжа 2-го рода:

[math]\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 [/math] , где

L = T - П - функция Лагранжа
T - кинетическая энергия системы
П - потенциальная энергия системы
q - независимая обобщенная координата

В данной задаче в качестве обобщенной координаты примем угол θ.

Кинетическая энергия:

[math]T = \frac{1}{2}m(ẋ^{2}+ẏ^{2}+ż^{2}) = \frac{1}{2}m(R^{2} \dot θ cos^{2} θ + (R sin θ)^{2} ω^{2}+ R^{2} \dot θ^{2}) = \frac{1}{2}m R^{2}(\dot θ^{2} + ?sin ^{2} θ ω^{2})[/math]

Потенциальная энергия:

[math]П = m g z = m g R (1 - cos θ)[/math]

Найдем:

[math]\frac{\partial L}{\partial θ} = m R^{2}ω^{2} sin θ cos θ - m g R sin θ [/math]

[math]\frac{\partial L}{\partial \dot θ} = m R^{2} \dot θ[/math]

Уравнения движения:

[math] \ddot θ = (ω^{2} cosθ - /frac{g}{R}) sin θ = 0 [/math]

См. также

• Задачи по теоретической механике