Обратный каскад энергии(двумерная турбулентность)

Рис.1 Взаимодействие двух вихрей.

Переход энергии с микро на макро уровень (и обратно) - одно из фундаментальных физических явлений. В данной работе,на примере двумерных турбулентных вихрей, рассматривается случай перехода с мелкомасштабного механического движения на крупномасштабное. В литературе это явление обычно упоминается как “обратный каскад” энергии. Построенная модель позволяет исследовать переход энергии с микро на макро уровень и корреляции скоростей в дискретной среде.

Модель представлена набором взаимодействующих частиц с случайными начальными скоростями. Частицы взаимодействуют за счет отталкивающих потенциальных и диссипативных сил. Динамика взаимодействия описана набором уравнений движения Ньютона:

[math]m\pmb{\ddot r}= \sum_{j}\left({{}^p}{\pmb F_{ij}} + {{}^d}{\pmb F_{ij}}\right),\qquad i,j = 1...N[/math]

где m, r - масса и радиус вектор i-ой частицы, [math]{{}^p}{\pmb F_{ij}}, {{}^d}{\pmb F_{ij}}[/math] - отталкивающая потенциальная и диссипативная силы соответственно.

Выражения для потенциальной и диссипативной сил:

[math] {{}^p}{\pmb F_{ij}} = \begin{cases} \frac{6D}{a^{2}}{\left(\frac{a_{c} - \pmb r_{ij}}{a_{c} - a}\right)}^{2}{\left(\frac{a}{\pmb r_{ij}}\right)}^{10}, & \text{если} \; \pmb r_{ij} \leqslant a_{c}; \\ 0, & \text{если} \; \pmb r_{ij} \gt a_{c}. \end{cases} [/math]

[math] {{}^d}{\pmb F_{ij}} = \begin{cases} \beta {\left(\frac{a_{c} - \pmb r_{ij}}{a_{c} - a}\right)}^{2} \left( \pmb v_{j} - \pmb v_{i}\right)\cdot \pmb e_{ij} \pmb e_{ij} , & \text{если} \; \pmb r_{ij} \leqslant a_{c}; \\ 0, & \text{если} \; \pmb r_{ij} \gt a_{c}. \end{cases} [/math]

где [math]\pmb r_{ij} =\pmb r_{i} - \pmb r_{j},\; \pmb e_{ij} = \frac{\pmb r_{ij}}{r_{ij}},\; a_{c}[/math] - радиус обрезания, [math]a, D[/math] - энергетические параметры системы, [math] \beta [/math] - коэффициент вязкости.

Диссипативные силы уменьшают полную энергию системы. Таким образом, без внешнего добавления энергии система перейдет в состояние равновесия. В данной модели энергия добавляется при помощи термостата Берендсена. Скорости частиц на каждом шаге по времени перемножаются на параметр [math] s [/math] :

[math] s = \sqrt{\frac{T_{0}}{T}},\qquad T =\frac{1}{2}\sum_{i} m {\pmb v_{i}}^{2} [/math]

где [math] T [/math] - температура среды