Колебания материальной точки в поле силы тяжести

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Виртуальная лаборатория > Колебания материальной точки в поле силы тяжести

Краткое описание системы

Рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы: материальная точка массы [math]m[/math] связана пружинами с двумя опорами, вся система находится в поле силы тяжести. Расстояние между опорами [math]2b[/math], длина пружин в недеформированном состоянии [math]a[/math], жесткость пружин [math]c[/math].

Схема

Обозначим:

[math] S^{+} = \sqrt{y^{2}+(a+x)^{2}}\\ S^{-} = \sqrt{y^{2}+(a-x)^{2}}\\ [/math]

Уравнения движения системы будут выглядеть так:

[math] \left\{ \begin{array}{ll} m \ddot{x} = \frac {c(a+x)}{S^{+}}(a-S^{+})-\frac {c(a-x)}{S^{+}}(a-S^{-})\\ \displaystyle m \ddot{y} = -\frac {cy}{S^{+}}(a-S^{+})-\frac {cy}{S^{+}}(a-S^{-})+mg\\ \end{array} \right. [/math]

Реализация


Текст программы на языке JavaScript:

function MainBall(canvas, canvasX, canvasY) { 


   var context = canvas.getContext("2d");        //основная картинка

var contextX = canvasX.getContext("2d"); //график отклонения по Х var contextY = canvasY.getContext("2d"); //график отклонения по У 

   var Pi = 3.1415926;                           //число пи

   var m0 = 1;                                   //масштаб массы
   var T0 = 1;                                   //масштаб времени
   var a0 = 1;                                   //масштаб расстояния

   var k0 = 2 * Pi / T0;                         //масштаб частоты  
   var C0 = m0 * k0 * k0;                        //масштаб жесткости

   var m = 1 * m0;                               //масса

var r = 5 * a0; //визуальный радиус шарика 

   var C = 0.3 * C0;                             //жесткость пружин

var l = 100 * a0; //длина пружин var g = 9.80665 * a0 / T0 / T0; //ускорение свободного падения var t = 0 * T0; //начальное время 

   var fps = 50;                                 //кадры в секунду
   var spf = 5;                                  //кол-во шагов интегрирования на один кадр
   var dt  = 0.4 * T0 / fps;                     //шаг интегрирования


var h = canvas.height; //высота картинки 

   var w = canvas.width;                         //ширина картинки
   var hScale = canvas.height / l;               //коэффициент пересчета по высоте
   var wScale = canvas.width / l;                //коэффициент пересчета по ширине

   var ball = {'x':0, 'y':0, 'vx':0, 'vy':0, 'ax':0, 'ay':0}; //НУ

var sqp = 0; //корень со знаком + var sqm = 0; //корень со знаком - var n1 = 0; //переменные для считывания команд пользователя var n2 = 0; var n3 = 0; var n4 = 0; var ab = 1; 

   MainBall.prototype.setXo = function(n1){ball.x = n1;};              //считывание координаты Х
   MainBall.prototype.setYo = function(n2){ball.y = n2;};              //считывание координаты У

MainBall.prototype.setVXo = function(n3){ball.vx = ball.vx * n3;}; //обнуление скорости по Х MainBall.prototype.setVYo = function(n4){ball.vy = ball.vy * n4;}; //обнуление скорости по У MainBall.prototype.setAB = function(n5){ab = n5;}; //считывание отношения а/b //slider_vx.oninput = function() {setVXo(slider_vx.value);}; //считывание скорости по Х //slider_vy.oninput = function() {setVYo(slider_vy.value);}; //считывание скорости по У //number_ab.oninput = function() {setAB(Number(number_ab.value));}; 

   function control() {
       physics();
       draw();	
   }

//вычисления 

   function physics(){		
       for (var s=1; s<=spf; s++) {

sqm = Math.sqrt(ball.y * ball.y + (l - ball.x) * (l - ball.x)); //вычисление корня со знаком - sqp = Math.sqrt(ball.y * ball.y + (l + ball.x) * (l + ball.x)); //вычисление корня со знаком + 

           ball.ax = (C * (ball.x + l) * (l * ab - sqp) / sqp - C * (l - ball.x) * (l - sqm) / sqm) / m;  //вычисление ускорения по Х

ball.ay = (- C * ball.y * (sqp - l * ab) / sqp + C * ball.y * (l - sqm) / sqm + m * g) / m; //вычисление ускорения по У ball.vx += ball.ax * dt; //вычисление скорости по Х ball.vy += ball.ay * dt; //вычисление скорости по У ball.x += ball.vx * dt; //вычисление координаты Х ball.y += ball.vy * dt; //вычисление координаты У t += dt; //приращение времени /*alert(ball.x + " " + ball.y + " " + ball.vx + " " + ball.vy + " " + ball.ax + " " + ball.ay);*/

} 

   }

//рисование вспомогательных элементов графиков contextX.beginPath(); contextX.strokeStyle = "#bbbbbb"; contextX.moveTo(0, h/4); contextX.lineTo(1200, h/4); contextX.closePath(); contextX.stroke();

contextY.beginPath(); contextY.strokeStyle = "#bbbbbb"; contextY.moveTo(0, h/4); contextY.lineTo(1200, h/4); contextY.closePath(); contextY.stroke(); //рисование шарика и пружин 

   function draw(){

context.fillStyle = "#00ff00"; //рисование пружин 

       context.beginPath();

context.clearRect(0, 0, w, h); 

       context.moveTo(0, h / 2);

context.lineTo(ball.x * wScale + w / 2, ball.y * hScale + h / 2); context.lineTo(w, h / 2); context.stroke(); 

       context.closePath();

context.fillStyle = "#0000ff"; //рисование шарика 

       context.beginPath();
       context.arc(ball.x * wScale + w / 2, ball.y * hScale + h / 2, r * wScale, 0, 2 * Pi, false);
       context.fill();
       context.closePath();

context.fillStyle = "#ff0000"; //рисование опор 

       context.beginPath();
       context.arc(0, h / 2, a0 * wScale, 0, 2 * Pi, false);

context.arc(w, h / 2, a0 * wScale, 0, 2 * Pi, false); 

       context.fill();
       context.closePath();

contextX.beginPath(); //рисование графика Х contextX.strokeStyle = 'black'; contextX.moveTo(t*20 - dt * 10, ((ball.x - ball.vx * dt * 5) * 5 + h/2) / 2); contextX.lineTo(t*20, (ball.x * 5 + h/2) / 2); contextX.closePath(); contextX.stroke();

contextY.beginPath(); //рисование графика У contextY.strokeStyle = 'black'; contextY.moveTo(t*20 - dt * 10, ((ball.y - ball.vy * dt * 5) * 5 + h/2) / 2); contextY.lineTo(t*20, (ball.y * 5 + h/2) / 2); contextY.closePath(); contextY.stroke(); 

   }

   setInterval(control, 1000/fps);

}

Ссылки

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Колебания_материальной_точки_в_поле_силы_тяжести&oldid=45087»