Периодические граничные условия
Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Виртуальная лаборатория>Периодические граничные условия
Содержание
Курсовой проект по механике дискретных сред
- разработчик Теницкая Татьяна
- руководитель Кузькин Виталий
Краткое описание
- Метод периодических граничных условий был разработан для решения задач теории жидкостей и плотных газов. Он состоит в том,что вокруг расчетной области строятся ее «образы» с актуальным положением частиц. И частицы «реальной» области взаимодействуют с частицами в «образе», а если частица пересекает границу расчетной области, она появляется с другой стороны.
- В теореме Нетер утверждается, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения:
- однородности времени соответствует закон сохранения энергии,
- однородности пространства соответствует закон сохранения импульса,
- изотропии пространства соответствует закон сохранения момента импульса,
- калибровочной симметрии соответствует закон сохранения электрического заряда и т. д.
- Но для классической системы частиц с периодическими условиями сохранение момента импульса нарушается. Этот эффект наглядно проиллюстрирован в данной курсовой работе.
Цель проекта
- Визуализация системы частиц с периодическими граничными условиями.
- Построение графиков зависимости кинетического момента от времени для одной частицы, двух частиц, многих частиц.
Математическая модель
Граничные условия:
если , то
если , то
если , то
если , то
Где x и у - это координаты частицы, а w и h - ширина и длина окна соответственно.
Кинетический момент вычисляется по формуле:
Результаты
Текст программы на языке JavaScript (разработчик Теницкая Татьяна):
Файл "OneBall.js"
1 function main_particle_1() {
2
3 var ctx = canvas_particle_1.getContext("2d");
4 var w = canvas_particle_1.width; //длина
5 var h = canvas_particle_1.height; //высота
6
7
8 var w_1 = w/3;
9 var h_1 = h/3;
10
11 rx = new Array(0, w_1, 2*w_1, 0, w_1, 2*w_1, 0, w_1, 2*w_1);
12 ry = new Array(60, 60, 60, 60 + h_1, 60 + h_1, 60 + h_1, 60 + 2*h_1, 60 + 2*h_1, 60 + 2*h_1);
13
14 // координаты шара
15 var v0 = 1; // скорость шара
16 var r = 7; // радиус шара
17 var dt = 5;
18 var alfa = 45 / 180 * Math.PI;
19 var steps = 0;
20
21 function step()
22 {
23 tick();
24 draw();
25 }
26
27 var vGraph = new TM_graph( // определить график
28 "#vGraph", // на html-элементе #vGraph
29 250, // сколько шагов по оси "x" отображается
30 -1, 1,0.2); // мин. значение оси Y, макс. значение оси Y, шаг по оси Y
31
32 function tick()
33 {
34 for (i = 0; i < rx.length; i++)
35 {
36 vx = v0 * Math.cos(alfa);
37 vy = v0 * Math.sin(alfa);
38 steps+=1;
39
40 rx[i] += vx*dt;
41 ry[i] += vy*dt;
42
43
44 if (rx[i] >= w)
45 {
46 rx[i] = rx[i] - w;
47 }
48
49 if (rx[i] <= 0)
50 {
51 rx[i] = rx[i] + w;
52 }
53
54 if (ry[i] >= h)
55 {
56 ry[i] = ry[i] - h;
57 }
58
59 if (ry[i] <= 0)
60 {
61 ry[i] = ry[i] + h;
62 }
63 }
64
65 var L = (rx[8] * vy - ry[8] * vx)/240.4164;
66
67 console.log(L);
68
69 if (dt % 0.5 == 0) vGraph.graphIter(steps, L); // подать данные на график
70 }
71
72
73
74
75 function draw()
76 {
77 ctx.clearRect(0, 0, w , h ); // очистить экран
78 for (var i = 0; i < rx.length; i++)
79 {
80 var xS = rx[i];
81 var yS = ry[i];
82
83
84 ctx.beginPath();
85 ctx.fillStyle = "#00008B";
86 ctx.arc(xS, yS, r , 0, 2 * Math.PI, false);
87 ctx.closePath();
88 ctx.fill();
89
90 ctx.beginPath(); // начать рисование
91 ctx.fillStyle="#000000";
92 ctx.moveTo(w_1, 0); // переместить "карандаш" в точку
93 ctx.lineTo(w_1, h); // нарисовать "карандашом" линию до точки
94 ctx.stroke();
95
96 ctx.beginPath();
97 ctx.fillStyle="#000000";
98 ctx.moveTo(2*w_1, 0);
99 ctx.lineTo(2*w_1, h);
100 ctx.stroke();
101
102 ctx.beginPath();
103 ctx.fillStyle="#000000";
104 ctx.moveTo(0, h_1);
105 ctx.lineTo(w, h_1);
106 ctx.stroke();
107
108 ctx.beginPath();
109 ctx.fillStyle="#000000";
110 ctx.moveTo(0, 2*h_1);
111 ctx.lineTo(w, 2*h_1);
112 ctx.stroke();
113
114 }
115 }
116
117
118 setInterval(step, 1000/100); // функция step будет запускаться 100 раз в секунду (100 раз / 1000 мс)
119
120 }
Текст программы на языке JavaScript (разработчик Теницкая Татьяна):
Файл "TwoBalls.js"
1 function main_particle_1() {
2
3 var ctx_11 = canvas_particle_11.getContext("2d");
4 var ctx_12 = canvas_particle_12.getContext("2d");
5 var ctx_13 = canvas_particle_13.getContext("2d");
6 var ctx_21 = canvas_particle_21.getContext("2d");
7 var ctx_22 = canvas_particle_22.getContext("2d");
8 var ctx_23 = canvas_particle_23.getContext("2d");
9 var ctx_31 = canvas_particle_31.getContext("2d");
10 var ctx_32 = canvas_particle_32.getContext("2d");
11 var ctx_33 = canvas_particle_33.getContext("2d");
12
13
14 var width = canvas_particle_11.width;
15 var height = canvas_particle_11.height;
16
17 var rx_1, ry_1, rx_2, ry_2; // координаты шара
18 var v0 = 4, vx_1, vy_1, vx_2, vy_2;
19 var r = 7; // радиус шара
20 var dt_1 = 0; dt_2 = 0;
21 var x0_1 = width/2, x0_2 = width/2, y0_1 = 0, y0_2 = height;
22 var steps = 0;
23 var val = 1;
24 var alfa = 45/180*Math.PI;
25
26 function step()
27 {
28 tick();
29 draw();
30 }
31
32 var vGraph = new TM_graph( // определить график
33 "#vGraph", // на html-элементе #vGraph
34 250, // сколько шагов по оси "x" отображается
35 -1,1,0.2);
36
37 function tick()
38 { // вычисление новой позиции шар
39 vx_1 = v0 * Math.cos(alfa);
40 vy_1 = v0 * Math.sin(alfa);
41 vx_2 = -v0 * Math.cos(alfa);
42 vy_2 = -v0 * Math.sin(alfa);
43
44 steps+=1;
45 if (val==1)
46 {
47 rx_1 = vx_1*dt_1 + x0_1 + r - 2.7; //
48 ry_1 = vy_1*dt_1 + y0_1 + r - 2.7;
49 dt_1+= 1;
50 rx_2 = vx_2*dt_2 + x0_2 - r + 2.7; //
51 ry_2 = vy_2*dt_2 + y0_2 - r + 2.7;
52 dt_2+= 1;
53
54
55 }
56 else
57 {
58 vy_1 = -vy_1;
59 vx_1 = -vx_1;
60 rx_1 = vx_1*dt_1 + width - r + 2.7;
61 ry_1 = vy_1*dt_1 + x0_1 - r + 2.7;
62 dt_1+= 1;
63 vy_2 = -vy_2;
64 vx_2 = -vx_2;
65 rx_2 = vx_2*dt_2 - 2.7 + r; //
66 ry_2 = vy_2*dt_2 + x0_2 - 2.7 + r;
67 dt_2+= 1;
68 }
69
70 if (rx_2 < 0 || rx_1 - r> width)
71 {
72 //alert(rx_2);
73 val = 0;
74 dt_1 = 0;
75 dt_2 = 0;
76 }
77
78 if (ry_1 < 0 || ry_2 - r > height)
79 {
80 val = 1;
81 dt_1=0;
82 dt_2 = 0;
83 }
84
85
86 var L = ((rx_1 * vy_1 - ry_1 * vx_1)+(rx_2 * vy_2 - ry_2 * vx_2))/376.2;
87 console.log(L);
88
89 if (dt_1 % 0.5 == 0) vGraph.graphIter(steps, L); // подать данные на график
90
91
92
93 }
94
95 function draw() // рисование шара
96 {
97
98 ctx_11.fillStyle= "#DC143C" ; // цвет закраски
99 ctx_11.clearRect(0, 0, width, height); // очистить экран
100 ctx_11.arc(rx_1, ry_1, r, 0, 2 * Math.PI);
101 ctx_11.fill();
102 ctx_11.beginPath();
103
104 ctx_11.fillStyle = "#00008B";
105 ctx_11.arc(rx_2, ry_2, r, 0, 2 * Math.PI);
106 ctx_11.fill();
107 ctx_11.beginPath();
108
109 ctx_12.fillStyle = "#DC143C"; // цвет закраски
110 ctx_12.clearRect(0, 0, width, height); // очистить экран
111 ctx_12.arc(rx_1, ry_1, r, 0, 2 * Math.PI);
112 ctx_12.fill();
113 ctx_12.beginPath();
114
115 ctx_12.fillStyle = "#00008B";
116 ctx_12.arc(rx_2, ry_2, r, 0, 2 * Math.PI);
117 ctx_12.fill();
118 ctx_12.beginPath();
119
120 ctx_13.fillStyle = "#DC143C"; // цвет закраски
121 ctx_13.clearRect(0, 0, width, height); // очистить экран
122 ctx_13.arc(rx_1, ry_1, r, 0, 2 * Math.PI);
123 ctx_13.fill();
124 ctx_13.beginPath();
125
126 ctx_13.fillStyle = "#00008B";
127 ctx_13.arc(rx_2, ry_2, r, 0, 2 * Math.PI);
128 ctx_13.fill();
129 ctx_13.beginPath();
130
131 ctx_21.fillStyle = "#DC143C"; // цвет закраски
132 ctx_21.clearRect(0, 0, width, height); // очистить экран
133 ctx_21.arc(rx_1, ry_1, r, 0, 2 * Math.PI);
134 ctx_21.fill();
135 ctx_21.beginPath();
136
137 ctx_21.fillStyle = "#00008B";
138 ctx_21.arc(rx_2, ry_2, r, 0, 2 * Math.PI);
139 ctx_21.fill();
140 ctx_21.beginPath();
141
142 ctx_22.fillStyle = "#DC143C"; // цвет закраски
143 ctx_22.clearRect(0, 0, width, height); // очистить экран
144 ctx_22.arc(rx_1, ry_1, r, 0, 2 * Math.PI);
145 ctx_22.fill();
146 ctx_22.beginPath();
147
148 ctx_22.fillStyle = "#00008B";
149 ctx_22.arc(rx_2, ry_2, r, 0, 2 * Math.PI);
150 ctx_22.fill();
151 ctx_22.beginPath();
152
153 ctx_23.fillStyle = "#DC143C"; // цвет закраски
154 ctx_23.clearRect(0, 0, width, height); // очистить экран
155 ctx_23.arc(rx_1, ry_1, r, 0, 2 * Math.PI);
156 ctx_23.fill();
157 ctx_23.beginPath();
158
159 ctx_23.fillStyle = "#00008B";
160 ctx_23.arc(rx_2, ry_2, r, 0, 2 * Math.PI);
161 ctx_23.fill();
162 ctx_23.beginPath();
163
164 ctx_31.fillStyle = "#DC143C"; // цвет закраски
165 ctx_31.clearRect(0, 0, width, height); // очистить экран
166 ctx_31.arc(rx_1, ry_1, r, 0, 2 * Math.PI);
167 ctx_31.fill();
168 ctx_31.beginPath();
169
170 ctx_31.fillStyle = "#00008B";
171 ctx_31.arc(rx_2, ry_2, r, 0, 2 * Math.PI);
172 ctx_31.fill();
173 ctx_31.beginPath();
174
175 ctx_32.fillStyle = "#DC143C"; // цвет закраски
176 ctx_32.clearRect(0, 0, width, height); // очистить экран
177 ctx_32.arc(rx_1, ry_1, r, 0, 2 * Math.PI);
178 ctx_32.fill();
179 ctx_32.beginPath();
180
181 ctx_32.fillStyle = "#00008B";
182 ctx_32.arc(rx_2, ry_2, r, 0, 2 * Math.PI);
183 ctx_32.fill();
184 ctx_32.beginPath();
185
186 ctx_33.fillStyle = "#DC143C"; // цвет закраски
187 ctx_33.clearRect(0, 0, width, height); // очистить экран
188 ctx_33.arc(rx_1, ry_1, r, 0, 2 * Math.PI);
189 ctx_33.fill();
190 ctx_33.beginPath();
191
192 ctx_33.fillStyle = "#00008B";
193 ctx_33.arc(rx_2, ry_2, r, 0, 2 * Math.PI);
194 ctx_33.fill();
195 ctx_33.beginPath();
196 }
197
198 setInterval(step, 1000/30); // функция step будет запускаться 30 раз в секунду (30 раз / 1000 мс)
199
200 }
Текст программы на языке JavaScript (разработчик Теницкая Татьяна):
Файл "NNN.js"
1 function main_particle_1() {
2
3 var ctx = canvas_particle_1.getContext("2d");
4 var w_1 = canvas_particle_1.width;
5 var h_1 = canvas_particle_1.height;
6 var w = w_1/3;
7 var h = h_1/3;
8
9 var r = 7;
10 var N = 10;
11 rx = new Array(); //Содержит координаты частиц по оси Х
12 ry = new Array(); //Содержит координаты частиц по оси У
13 rxI0 = new Array();rxI1 = new Array();rxI2 = new Array();rxI3 = new Array();rxI4 = new Array();rxI5 = new Array();rxI6 = new Array();rxI7 = new Array();
14 ryI0 = new Array();ryI1= new Array();ryI2= new Array();ryI3= new Array();ryI4= new Array();ryI5= new Array();ryI6= new Array();ryI7= new Array();
15
16 L = new Array();
17 Array.prototype.sum = function()
18 {
19 for (var i=0, sum=0; i < this.length; sum += this[i++]);
20 return sum;
21 }
22
23
24 var distR0,distR2,distR3,distR;
25
26 var D = 5;
27 var a;
28 var a0 = w * 0.1;
29
30 vx = new Array(); //Скорость по Х
31 vy = new Array(); //Скорость по У
32 dt = 0.01;
33
34
35
36 for (i = 0; i < N; ++i)
37 {
38 vx[i] = Math.random()*55;
39 vy[i] = Math.random()*55;
40 }
41 var kol = 1;
42 var prx = 0;
43 var pry = 0;
44 var dist = 0;
45 var f;
46 rx[0] = Math.random() * (w - 10);
47 ry[0] = Math.random() * (h - 10);
48 while (kol < N)
49 {
50 f = 0;
51 prx = Math.random() * (w - 10);
52 pry = Math.random() * (h - 10);
53 for (i = 0; i < kol; i++)
54 {
55 dist = Math.pow((rx[i] - prx),2)+Math.pow((ry[i] - pry),2);
56 if (dist < Math.pow(2 * a0,2))
57 {
58 f = f+1;
59 }
60 }
61 if (f==0)
62 {
63 rx[kol] = prx;
64 ry[kol] = pry;
65 kol++;
66 }
67 }
68 var steps = 0;
69
70
71 function step()
72 {
73 tick();
74 draw();
75 }
76
77 var vGraph = new TM_graph( // определить график
78 "#vGraph", // на html-элементе #vGraph
79 250, // сколько шагов по оси "x" отображается
80 -1, 1,0.2); // мин. значение оси Y, макс. значение оси Y, шаг по оси Y
81
82 function tick()
83 {
84 for (i = 0; i < N ; i++)
85 {
86
87 steps += 1;
88
89 rx[i] += vx[i]*dt;
90 ry[i] += vy[i]*dt;
91
92 if (rx[i] >= w) {rx[i] = rx[i] - w;}
93 if (rx[i] <= 0) {rx[i] = rx[i] + w;}
94 if (ry[i] >= h) {ry[i] = ry[i] - h;}
95 if (ry[i] <= 0) {ry[i] = ry[i] + h;}
96
97 rxI0[i] = rx[i] + w;
98 ryI0[i] = ry[i];
99
100 rxI3[i] = rx[i] + w;
101 ryI3[i] = ry[i] + h;
102
103 rxI6[i] = rx[i] + w;
104 ryI6[i] = ry[i] + 2*h;
105
106 rxI1[i] = rx[i] + 2*w;
107 ryI1[i] = ry[i];
108
109 rxI4[i] = rx[i] + 2*w;
110 ryI4[i] = ry[i] + h;
111
112 rxI7[i] = rx[i] + 2*w;
113 ryI7[i] = ry[i] + 2*h;
114
115 rxI2[i] = rx[i];
116 ryI2[i] = ry[i] + h;
117
118 rxI5[i] = rx[i];
119 ryI5[i] = ry[i] + 2*h;
120
121 //расчет расстояний
122
123 for (j = 0; j < N ; j++)
124 {
125 if (i != j)
126 {
127 distR0 = Math.sqrt(Math.pow((rx[i]-rxI0[j]),2)+Math.pow((ry[i]-ryI0[j]),2));
128 distR2 = Math.sqrt(Math.pow((rx[i]-rxI2[j]),2)+Math.pow((ry[i]-ryI2[j]),2));
129 distR3 = Math.sqrt(Math.pow((rx[i]-rxI3[j]),2)+Math.pow((ry[i]-ryI3[j]),2));
130 distR = Math.sqrt(Math.pow((rx[i]-rx[j]),2)+Math.pow((ry[i]-ry[j]),2));
131
132 //расчет сил
133 a = 4 * r;
134 if (distR0 < 2*r)
135 {
136 var mod_fR0,fxR0,fyR0;
137
138 mod_fR0 = 12*D*((Math.pow(r/distR0),13)-Math.pow((r/distR0),7))/a;
139 //console.log(mod_fR0);
140 if (mod_fR0 >=0)
141 {
142 fxR0 = mod_fR0*(rx[i]-rxI0[j]);
143 fyR0 = mod_fR0*(ry[i]-ryI0[j]);
144 vx[i]+=fxR0*dt;
145 vx[j]-=fxR0*dt;
146 vy[i]+=fyR0*dt;
147 vy[j]-=fyR0*dt;
148 }
149 }
150 if (distR2 < 2*r)
151 {
152 var mod_fR2,fxR2,fyR2;
153
154 mod_fR2 = 12*D*((Math.pow(r/distR2),13)-Math.pow((r/distR2),7))/a;
155
156 if (mod_fR2 >=0)
157 {
158 fxR2 = mod_fR2*(rx[i]-rxI2[j]);
159 fyR2 = mod_fR2*(ry[i]-ryI2[j]);
160 vx[i]+=fxR2*dt;
161 vx[j]-=fxR2*dt;
162 vy[i]+=fyR2*dt;
163 vy[j]-=fyR2*dt;
164 }
165 }
166 if (distR3 < 2*r)
167 {
168 var mod_fR3,fxR3,fyR3;
169
170 mod_fR3 = 12*D*((Math.pow(r/distR3),13)-Math.pow((r/distR3),7))/a;
171
172 if (mod_fR3 >=0)
173 {
174 fxR3 = mod_fR3*(rx[i]-rxI3[j]);
175 fyR3 = mod_fR3*(ry[i]-ryI3[j]);
176 vx[i]+=fxR3*dt;
177 vx[j]-=fxR3*dt;
178 vy[i]+=fyR3*dt;
179 vy[j]-=fyR3*dt;
180 }
181 }
182
183 if (distR < 2*r)
184 {
185 var mod_fR,fxR,fyR;
186 mod_fR = 12*D*((Math.pow(r/distR),13)-Math.pow((r/distR),7))/a;
187 if (mod_fR >=0)
188 {
189 fxR = mod_fR*(rx[i]-rx[j]);
190 fyR = mod_fR*(ry[i]-ry[j]);
191 vx[i]+=fxR*dt;
192 vx[j]-=fxR*dt;
193 vy[i]+=fyR*dt;
194 vy[j]-=fyR*dt;
195 }
196 }
197
198 L[i] = (rx[i] * vy[i] - ry[i] * vx[i])/35000;
199 var sumL = L.sum();
200 if (steps % 100 == 0) vGraph.graphIter(steps, sumL); // подать данные на график
201 //console.log(sumL);
202
203 }
204
205 }
206 }
207 }
208
209
210 function draw()
211 {
212 ctx.clearRect(0, 0, w_1 , h_1); // очистить экран
213 for (var i = 0; i < N; i++)
214
215 {
216 var x = rx[i];
217 var y = ry[i];
218 ctx.beginPath();
219 ctx.fillStyle = "#00008B";
220 ctx.arc(x, y, r , 0, 2 * Math.PI, false);
221 ctx.closePath();
222 ctx.fill();
223
224 var xI0 = rxI0[i];
225 var yI0 = ryI0[i];
226 ctx.beginPath();
227 ctx.fillStyle = "#00008B";
228 ctx.arc(xI0, yI0, r , 0, 2 * Math.PI, false);
229 ctx.closePath();
230 ctx.fill();
231 var xI1 = rxI1[i];
232 var yI1 = ryI1[i];
233 ctx.beginPath();
234 ctx.fillStyle = "#00008B";
235 ctx.arc(xI1, yI1, r , 0, 2 * Math.PI, false);
236 ctx.closePath();
237 ctx.fill();
238 var xI2 = rxI2[i];
239 var yI2 = ryI2[i];
240 ctx.beginPath();
241 ctx.fillStyle = "#00008B";
242 ctx.arc(xI2, yI2, r , 0, 2 * Math.PI, false);
243 ctx.closePath();
244 ctx.fill();
245 var xI3 = rxI3[i];
246 var yI3 = ryI3[i];
247 ctx.beginPath();
248 ctx.fillStyle = "#00008B";
249 ctx.arc(xI3, yI3, r , 0, 2 * Math.PI, false);
250 ctx.closePath();
251 ctx.fill();
252 var xI4 = rxI4[i];
253 var yI4 = ryI4[i];
254 ctx.beginPath();
255 ctx.fillStyle = "#00008B";
256 ctx.arc(xI4, yI4, r , 0, 2 * Math.PI, false);
257 ctx.closePath();
258 ctx.fill();
259 var xI5 = rxI5[i];
260 var yI5 = ryI5[i];
261 ctx.beginPath();
262 ctx.fillStyle = "#00008B";
263 ctx.arc(xI5, yI5, r , 0, 2 * Math.PI, false);
264 ctx.closePath();
265 ctx.fill();
266 var xI6 = rxI6[i];
267 var yI6 = ryI6[i];
268 ctx.beginPath();
269 ctx.fillStyle = "#00008B";
270 ctx.arc(xI6, yI6, r , 0, 2 * Math.PI, false);
271 ctx.closePath();
272 ctx.fill();
273 var xI7 = rxI7[i];
274 var yI7 = ryI7[i];
275 ctx.beginPath();
276 ctx.fillStyle = "#00008B";
277 ctx.arc(xI7, yI7, r , 0, 2 * Math.PI, false);
278 ctx.closePath();
279 ctx.fill();
280
281 }
282 ctx.beginPath(); // начать рисование
283 ctx.fillStyle="#000000";
284 ctx.moveTo(w, 0); // переместить "карандаш" в точку
285 ctx.lineTo(w, h_1); // нарисовать "карандашом" линию до точки
286 ctx.stroke();
287
288 ctx.beginPath();
289 ctx.fillStyle="#000000";
290 ctx.moveTo(2 * w, 0);
291 ctx.lineTo(2 * w, h_1);
292 ctx.stroke();
293
294 ctx.beginPath();
295 ctx.fillStyle="#000000";
296 ctx.moveTo(0, h);
297 ctx.lineTo(w_1, h);
298 ctx.stroke();
299
300 ctx.beginPath();
301 ctx.fillStyle="#000000";
302 ctx.moveTo(0, 2 * h);
303 ctx.lineTo(w_1, 2 * h);
304 ctx.stroke();
305 }
306
307 setInterval(step, 1000/60); // функция step будет запускаться 60 раз в секунду (60 раз / 1000 мс)
308
309 }
