Квазиодномерный кристалл

Кафедра ТМ > Научный справочник > Механика > МДС > Одномерный кристалл > Квазиодномерный кристалл

Определение

В настоящей статье квазиодномерным называется кристалл, в котором частицы упорядочены в одномерную цепочку, однако движение частиц осуществляется как в продольном, так и в поперечном направлении. Взаимодействия между частицами описываются парным потенциалом [math] \Pi [/math].

Линейное тепловое расширение

Зависимость коэффициента Грюнайзена (теплового расширения) при различных деформациях цепочки Леннарда-Джонса.

При малых тепловых энергиях зависимость давления (средней продольной силы) от тепловой энергии обычно описывается уравнением состояния Ми-Грюнайзена:

[math] p = p_0(V) + \frac{\varGamma(V)}{V} E_T,[/math]

Параметр [math] \varGamma(V) [/math], называемый коэффициентом Грюнайзена, для квазиодномерной цепочки является суммой двух слагаемых, соответствующих продольным и поперечным колебаниям цепочки:

[math] \varGamma = \frac{\varGamma_{l}+\varGamma_{tr}}{2},\qquad \varGamma_{l} = -\frac{{\Pi(A)}''' A}{2{\Pi(A)}''},\qquad \varGamma_{tr} = -\frac{{\Pi(A)}'' A - {\Pi(A)}'}{2{\Pi(A)}'} [/math]

Для большинства потенциалов [math]{\Pi(A)}''' \lt 0[/math], поэтому продольные колебания вносят положительный вклад в давление, т.е. приводят к положительному тепловому расширению. Поперечные колебания, наоборот, приводят к отрицательному тепловому расширению. Данный эффект реализуется, например, в графене.

Зависимость коэффициента Грюнайзена от деформации кристалла приведена на рисунке справа. Видно, что при изменении деформации коэффициент Грюнайзена меняется в пределах от [math] -\infty[/math] до [math] +\infty[/math].

Нелинейное, немонотонное тепловое расширение

При некоторых деформациях цепочки уравнение состояния Ми-Грюнайзена теряет смысл. При этом необходимо пользоваться нелинейными по тепловой энергии уравнениями состояниями. Для квазиодномерного кристалла такое уравнение состояния было получено в статье В.А. Кузькина и А.М. Кривцова. Уравнение имеет достаточно сложный вид, однако из него следует, что при малых тепловых энергиях зависимость давления от тепловой энергий имеет одну из следующих асимптотик:

• Растянутая цепочка

[math] p_T \approx \frac{\varGamma(A)}{A}E_T + \frac{B_2A-\varGamma(A)B_4}{16\Pi'^2A} E_T^2,\qquad A \gt a, [/math]

• Нерастянутая цепочки

[math] p_T \sim \sqrt{E_T}, \qquad A=a, [/math]

• Растяжение, соответствующее нулевому коэффициенту Грюнайзена

[math] p_T \sim E_T^2, \qquad A=A_{*}. [/math]

Здесь [math]B_2, B_4[/math] - константы, зависящие от параметров потенциала, [math]A_{*}[/math] - среднее расстояние между частицами, при котором коэффициент Грюнайзена обращается в ноль.

Теплопроводность

В работе [Physical Review E, 82 (1), 2010] показано, что подобно другим одномерным системам квазиодномерный кристалл не описывается законом Фурье. Коэффициент теплопроводности зависит от числа частиц [math] \kappa \sim \sqrt{N} [/math].

Публикации по теме

• Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Nonlinear positive/negative thermal expansion and equations of state of a chain with longitudinal and transverse vibrations. Physica Status Solidi b, 252, No. 7, pp. 1664–1670, 2015, DOI: 10.1002/pssb.201451618 (download author's copy)
• Santhosh G., Deepak Kumar Anomalous transport and phonon renormalization in a chain with transverse and longitudinal vibrations. Physical Review E, 82 (1), 2010.

Ссылки

• Перенос тепла в одномерных кристаллах
• Нарушение закона Фурье в идеальных кристаллах