КП: Прицельный бильярд

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
А.М. Кривцов > Теоретическая механика > Курсовые проекты ТМ 2015 > Прицельный бильярд
Стол для русского бильярда.

Курсовой проект по Теоретической механике

Исполнитель: Степанов Матвей

Группа: 09 (23604)

Семестр: весна 2015

Аннотация проекта

Проект направлен на изучение динамики взаимодействия шаров при игре в бильярд. В ходе работы над проектом рассмотрен удар под названием "резка", написана программа, на языке JavaScript, моделирующая игровой процесс.

Формулировка задачи

- Написать программу, моделирующую динамику взаимодействия шаров при игре в Бильярд. Взаимодействие между шарами описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.
- Реализовать сложные комбинации при игре в Бильярд.

Общие сведения по теме

Бильярдный шар около угловой лузы.

Характерной особенностью всех бильярдных игр является передвижение шаров с помощью кия. Основные характерные особенности: шары, незначительно уступающие по размерам створу лузы (диаметр шара 68-68,5 мм., а вес около 285 г.) ширина створа угловой лузы 72-73 мм, средней лузы 82-83 мм).


При реализации данной задачи используется стол с размерами игрового поля 2240 х 1120 мм, диаметром шара 68 мм и размерами луз 72 и 82 мм соответственно.

Программа для игры в Бильярд

Ниже приведена программа( созданная совместно с Булдаковым Павлом на основании программы Динамика взаимодействующих частиц), в которой видно, что траектория разлета шаров схожа с расчетными траекториями полученными профессором Джимом Белк (рис.1). Взаимодействие между шарами описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса.

[math]\varPi(r) = D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right][/math]

[math] \left\{ \begin{array}{ll} F(r) = \frac{12D}{a}\left[\left(\frac a r\right)^{13}-\left(\frac a r\right)^{7}\right], \qquad & r\lt d; \\ F(r) = 0, \qquad & r \gt d; \\ \end{array} \right. [/math]

где

[math]r[/math] — расстояние между частицами,

[math]D[/math] — энергия связи,

[math]a[/math] — длина связи.

Текст программы на языке JavaScript:

Файл "Billyard1version.js"

  1 window.addEventListener("load", MainBalls, true);
  2 function MainBalls(slider_01, text_01, slider_02, text_02) {
  3 
  4     // Предварительные установки
  5 
  6     var canvas = canvasBalls;
  7     var context = canvas.getContext("2d");                  // на context происходит рисование
  8     canvas.oncontextmenu = function (e) {return false;};    // блокировка контекстного меню
  9 
 10     var Pi = 3.1415926;                   // число "пи"
 11 
 12     var m0 = 1;                           // масштаб массы
 13     var T0 = 1;                           // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
 14     var a0 = 1;        // масштаб расстояния (диаметр шара)
 15     var q = -90;                     // угол 
 16   
 17 
 18     var g0 = a0 / T0 / T0;                // масштаб ускорения (ускорение, при котором за T0 будет пройдено расстояние a0)
 19     var k0 = 2 * Pi / T0;                 // масштаб частоты
 20     var C0 = m0 * k0 * k0;                // масштаб жесткости
 21     var B0 = 2 * m0 * k0;                 // масштаб вязкости
 22   var v0 = 1;      //начальная скорость
 23 
 24 
 25     // *** Задание физических параметров ***
 26 
 27     var Ny = 32;                          // число шаров, помещающихся по вертикали в окно (задает размер шара относительно размера окна)
 28     var m = 1 * m0;                       // масса
 29     var Cwall = 10 * C0;                  // жесткость стен
 30     var Cball = 0.1 * Cwall;              // жесткость между частицами
 31     var B = 0.008 * B0;                   // вязкость среды
 32     var Bwall = 0.03 * B0;                // вязкость на стенках
 33     var mg = 0.25 * m * g0;               // сила тяжести
 34     var r = 0.5 * a0;                     // радиус частицы в расчетных координатах
 35     var K = 0.85;                         // сила взаимодействия ограничивается значением, реализующимся при r/a = K
 36     var a = 2 * r;                        // равновесное расстояние между частицами
 37     var aCut = 2.00001 * r;               // радиус обрезания
 38 
 39     // *** Задание вычислительных параметров ***
 40 
 41     var fps = 50;                         // frames per second - число кадров в секунду (качечтво отображения)
 42     var spf = 100;                        // steps per frame   - число шагов интегрирования между кадрами (скорость расчета)
 43     var dt  = 0.045 * T0 / fps;           // шаг интегрирования (качество расчета)
 44 
 45     // Выполнение программы
 46 
 47     var scale = canvas.height / Ny / a0;  // масштабный коэффициент для перехода от расчетных к экранным координатам
 48     var r2 = r * r;                       // ___в целях оптимизации___
 49     var aCut2 = aCut * aCut;              // ___в целях оптимизации___
 50     var a2 = a * a;                       // ___в целях оптимизации___
 51     var D = a2 * Cball / 72;              // энергия связи между частицами
 52     var LJCoeff = 12 * D / a2;            // коэффициент для расчета потенциала Л-Дж
 53   
 54     var Ka = K * a;                       // ___в целях оптимизации___
 55     var K2a2 = K * K * a2;                // ___в целях оптимизации___
 56 
 57     var w = canvas.width / scale;           // ширина окна в расчетных координатах
 58     var h = canvas.height / scale;          // высота окна в расчетных координатах
 59 
 60     // Работа с массивом
 61 
 62     var balls = [];                             // массив шаров
 63     var addNewBall =  function(x, y) {
 64         // проверка - не пересекается ли новый шар со стенами или уже существующими шарами
 65         if (x - r < 0 || x + r > w || y - r < 0 || y + r > h) return null;
 66         for (var i = 0; i < balls.length; i++) {
 67             var rx = balls[i].x - x;
 68             var ry = balls[i].y - y;
 69             var rLen2 = rx * rx + ry * ry;
 70             if (rLen2 < 4 * r2) return null;
 71         }
 72         var b = [];
 73 
 74         b.x = x;                b.y = y;        // расчетные координаты шара
 75         b.fx = 0;               b.fy = 0;      // сила, действующая на шар
 76         b.vx = 0;               b.vy = 0;       // скорость
 77 
 78         balls[balls.length] = b;                // добавить элемент в конец массива
 79         return b;
 80     };
 81 
 82     // Основной цикл программы
 83 
 84     function control() {
 85         physics();
 86         draw();
 87     }
 88 
 89     // Расчетная часть программы
 90 
 91     function physics() {                        // то, что происходит каждый шаг времени
 92         for (var s = 1; s <= spf; s++) {
 93 
 94             // пересчет сил идет отдельным массивом, т.к. далее будут добавляться силы взаимодействия между шарами
 95             for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
 96                 balls[i0].fx = - B * balls[i0].vx;
 97                 balls[i0].fy = - B * balls[i0].vy;
 98             }
 99 
100             for (var i = 0; i < balls.length; i++) {
101 
102 
103     //попадание в лузу 
104     
105       if ((balls[i].x >= (300/scale-r))  && (balls[i].y >= (300/scale-r)) && (balls[i].y <= (300/scale+r))) {balls.splice(i, 1)};
106     if ((balls[i].x >= (300/scale-r))   && (balls[i].y <= (r))) {balls.splice(i, 1)};
107     if ((balls[i].x >= (300/scale-r))   && (balls[i].y >= (600/scale -r))) {balls.splice(i, 1)};
108     if ((balls[i].x <= (r))   && (balls[i].y >= (600/scale -r))) {balls.splice(i, 1)};
109     if ((balls[i].x <= (r))  && (balls[i].y >= (300/scale-r)) && (balls[i].y <= (300/scale+r))) {balls.splice(i, 1)};
110     if ((balls[i].x <= (r))   && (balls[i].y <= (r))) {balls.splice(i, 1)};  
111 
112                 // расчет взаимодействия производится со всеми следующими шарами в массиве,
113                 // чтобы не считать каждое взаимодействие дважды
114                 var b = balls[i];
115                 for (var j = i + 1; j < balls.length; j++) {
116                     var b2 = balls[j];
117                     var rx = b.x - b2.x;   var ry = b.y - b2.y;         // вектор смотрит на первый шар (b)
118                     var r2 = rx * rx + ry * ry;                         // квадрат расстояния между шарами
119                     if (r2 > aCut2) continue;                           // проверка на радиус обрезания
120                     var rLen = (Math.sqrt(r2));
121         
122 
123                     // если расстояние между частицами мало, силы будут посчитаны для K * a
124                     if (r2 < K2a2) {
125                         if (rLen > 0.00001) {                           // проверка, чтобы избежать деления на 0
126                             rx = rx / rLen * Ka;
127                             ry = ry / rLen * Ka;
128                         }
129                         r2 = K2a2;
130                         rLen = Ka;                                      // корень K2a2
131                     }
132 
133                     // сила взаимодействия
134                     var s2 = a2 / r2;         var s4 = s2 * s2;         // ___в целях оптимизации___
135                     var F = LJCoeff * s4 * s4 * (s4 * s2 - 1);          // сила взаимодействия Леннарда-Джонса
136 
137                     var Fx = F * rx;        var Fy = F * ry;
138                     b.fx += Fx;             b.fy += Fy;
139                     b2.fx -= Fx;            b2.fy -= Fy;
140                 }
141 
142                 if (b.y + r > h) { b.fy += -Cwall * (b.y + r - h) - Bwall * b.vy; }
143                 if (b.y - r < 0) { b.fy += -Cwall * (b.y - r) - Bwall * b.vy;}
144                 if (b.x + r > w) { b.fx += -Cwall * (b.x + r - w) - Bwall * b.vx; }
145                 if (b.x - r < 0) { b.fx += -Cwall * (b.x - r) - Bwall * b.vx; }
146 
147                 b.vx += b.fx / m * dt;        b.vy += b.fy / m * dt;
148                 b.x += b.vx * dt;             b.y += b.vy * dt;
149             }
150         }
151     }
152 
153     // Рисование
154 
155     var rScale13 = r * scale * 1.3;         // ___в целях оптимизации___
156     var rScaleShift = r * scale / 5;        // ___в целях оптимизации___
157   var line ;
158   var radi = 30;
159   var radi2 = 5;
160   
161     function draw() {
162         context.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale);      // очистить экран
163         for (var i = 0; i < balls.length; i++){
164             var xS = balls[i].x * scale;           var yS = balls[i].y * scale;
165             // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
166             var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
167             gradient.addColorStop(0, "#fdebeb");
168             gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
169             context.fillStyle = gradient;
170 
171             context.beginPath();
172             context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
173             context.closePath();
174             context.fill();
175         }
176     for (var i = 15; i < balls.length; i++){
177             var xS = balls[i].x * scale;           var yS = balls[i].y * scale;
178             // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
179             var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
180             gradient.addColorStop(0, "#cd0000");
181             gradient.addColorStop(1, "#fffcfc");
182             context.fillStyle = gradient;
183 
184             context.beginPath();
185             context.arc(xS, yS, r * scale, 0, 2 * Math.PI, false);
186             context.closePath();
187             context.fill();
188         }
189 
190     
191     
192       context.lineWidth="3";
193       context.strokeStyle="#fff506";
194             context.beginPath();
195             context.moveTo(balls[15].x * scale, balls[15].y * scale);                                                                                                                                                         
196       context.lineTo(radi*v0*Math.cos(q*Pi/180) + balls[15].x * scale,radi*v0*Math.sin(q*Pi/180)+balls[15].y * scale);
197             context.stroke();
198     
199 
200     // verh lev
201   context.lineWidth="3";
202     context.strokeStyle="#ffffff ";
203     context.beginPath();
204     context.moveTo(0, 0);                                                                                                                                                         
205     context.lineTo(0,14 +2.5 );
206     context.stroke();
207   
208   context.lineWidth="3";
209     context.strokeStyle="#ffffff";
210     context.beginPath();
211     context.moveTo(0, 0);                                                                                                                                                         
212     context.lineTo(14 +2.5,0 );
213     context.stroke();
214   
215       // verh prav
216   context.lineWidth="3";
217     context.strokeStyle="#ffffff";
218     context.beginPath();
219     context.moveTo(286 - 2.5, 0);                                                                                                                                                         
220     context.lineTo(300,0 );
221     context.stroke();
222   
223   context.lineWidth="3";
224     context.strokeStyle="##ffffff";
225     context.beginPath();
226     context.moveTo(300, 0);                                                                                                                                                         
227     context.lineTo(300,14 +2.5 );
228     context.stroke();
229   
230         // niz lev
231   context.lineWidth="3";
232     context.strokeStyle="#ffffff";
233     context.beginPath();
234     context.moveTo(0, 600);                                                                                                                                                         
235     context.lineTo(14 +2.5,600 );
236     context.stroke();
237   
238   context.lineWidth="3";
239     context.strokeStyle="#ffffff";
240     context.beginPath();
241     context.moveTo(0, 586 - 2.5);                                                                                                                                                         
242     context.lineTo(0,600 );
243     context.stroke();
244     
245     
246     // niz prav
247   context.lineWidth="3";
248     context.strokeStyle="#ffffff";
249     context.beginPath();
250     context.moveTo(300, 600);                                                                                                                                                         
251     context.lineTo(300,586 - 2.5);
252     context.stroke();
253   
254   context.lineWidth="3";
255     context.strokeStyle="#ffffff";
256     context.beginPath();
257     context.moveTo(300, 600);                                                                                                                                                         
258     context.lineTo(286 - 2.5,600 );
259     context.stroke();
260   
261   //sered lev
262   context.lineWidth="3";
263     context.strokeStyle="#ffffff";
264     context.beginPath();
265     context.moveTo(0, 289);                                                                                                                                                         
266     context.lineTo(0,311);
267     context.stroke();
268   
269   //sered prav
270   
271   context.lineWidth="3";
272     context.strokeStyle="#ffffff";
273     context.beginPath();
274     context.moveTo(300, 289);                                                                                                                                                         
275     context.lineTo(300,311 );
276     context.stroke();
277     
278   
279     }
280   
281 
282     // Запуск системы
283     addNewBall(16*w/32, 8*h/32 );  
284     addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 1.7321*r);  
285     addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 1.7321*r );
286     addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 2*1.7321*r );    
287     addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
288     addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 2*1.7321*r );
289     addNewBall(16*w/32 + r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
290     addNewBall(16*w/32 - r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
291     addNewBall(16*w/32 + 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
292     addNewBall(16*w/32 - 3*r,   8*h/32 - 3*1.7321*r );
293     addNewBall(16*w/32,     8*h/32 - 4*1.7321*r );
294     addNewBall(16*w/32 - 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
295     addNewBall(16*w/32 + 2*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
296     addNewBall(16*w/32 - 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
297     addNewBall(16*w/32 + 4*r,   8*h/32 - 4*1.7321*r );
298     addNewBall(16*w/32, 16*h/32 );  
299     
300   this.setSlider_01 = function(c) { q=c ;}; // функция для слайдера угла
301   this.setSlider_02 = function(c) { v0=c ;}; // функция для слайдера угла
302 
303  // Настройка интерфейса
304 
305     slider_01.min = -360;               slider_01.max =180;
306     slider_01.step = 0.1;
307     slider_01.value = q;          // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
308     text_01.value = -q;
309     slider_02.min = 0;               slider_02.max = 10;
310     slider_02.step = 0.5;
311     slider_02.value = v0;                // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
312     text_02.value = v0;
313   
314   this.setSlider_01(q);
315   this.setSlider_02(v0);
316     
317     this.newSystem = function() {
318     balls[15].vx = v0* Math.cos(q*Pi/180);
319         balls[15].vy = v0* Math.sin(q*Pi/180);
320   }
321 
322     setInterval(control, 1000 / fps);
323 }

Файл "Billyard1version.html"

 1 <!DOCTYPE html>
 2 <html>
 3 <head>
 4     <title>Billyard</title>
 5     <script src="Billyard1version.js"></script>
 6 </head>
 7 <body>
 8      <canvas id="canvasBalls" width="300" height="600" style="border:1px none #000000;background: #008000"></canvas>
 9 <br>
10     <div>Угол:
11         <input type="range" id="slider_01" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_01(this.value); document.getElementById('text_01').value = this.value;">
12        q =
13         <input id="text_01" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)"  oninput="
14             // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
15             if (!this.checkValidity()) return;
16             app.setSlider_01(this.value);
17             document.getElementById('slider_01').value = this.value;
18         ">
19     </div><br>
20 
21     <div>Начальная скорость:
22         <input type="range" id="slider_02" style="width: 150px;" oninput="app.setSlider_02(this.value); document.getElementById('text_02').value = this.value;">
23        v0 =
24         <input id="text_02" style="width: 5ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
25             // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
26             if (!this.checkValidity()) return;
27             app.setSlider_02(this.value);
28             document.getElementById('slider_02').value = this.value;
29         ">
30     </div><br> 
31   
32   
33   <input type="button" style="width: 50px" name="" onclick="app.newSystem();return false;" value="PLAY"/>
34   
35   
36  <script type="text/javascript">var app = new MainBalls(
37             document.getElementById('slider_01'),
38             document.getElementById('text_01'),
39             document.getElementById('slider_02'),
40             document.getElementById('text_02')
41     );</script>
42 </body>
43 </html>


рис.1.Траектория разлета шаров при центральном разбиении пирамиды.












Решение

Задача: Рассчитать скорость и угол направления удара, а так же возможные расположения шаров, при которых оба шара (рис.2) окажутся в верхних лузах.

Удар "резка".

На рис.2, один из шаров(биток) смещен с оси прямого удара, таким образом появляется резка. Нужно попасть битком в точку на прицельном шаре, от которой через математический центр прицельного шара до центра лузы проходит прямая линия. При малой резке эта точка на прицельном шаре еще видна, но по мере увеличения резки она становится практически невидимой.

Правило 90°: когда "биток" ударяет прицельный шар, скользя по сукну без переднего или заднего вращения, шары разлетаются под углом 90° друг к другу. Правило работает независимо от угла резки.
[math] v_{1},v_{2} [/math] - скорость "битка" до и после соударения.

[math] v_{2}' [/math] - скорость прицельного шара после соударения.

Из ЗСИ:

[math] v_{1} = v_{1}' + v_{2}'[/math] (1)

Из ЗСЭ:

[math] v_{1}^2 = v_{1}' ^2 + v_{2}' ^2[/math] (2)

Скалярное произведине ур-ния (1) самого на себя дает:

[math] v_{1}^2 = v_{1}' ^2 + 2v_{1}'v_{2}'\cos\left(θ\right) + v_{2} '^2[/math] (3)

(3) - (2):

[math] 2v_{1}'v_{2}'\cos\left(θ\right) = 0 [/math], а это возможно, если [math] v_{1}' = 0 [/math](что соответствует прямому удару), или при [math] θ = 90° [/math]

Примечание :Вывод правила 90° основан на двух существенных допущениях: трение между шарами равно нулю и столкновение шаров – абсолютно упругое.

Будем считать, что шары однородные и совершенно сферической формы.

[math] θ_{1}, θ_{2} [/math] - углы отклонения первого и второго шаров после столкновения по отношению к направлению удара.[math] χ[/math] - угол поворота первого шара в системе центра инерции.

[math] θ_{1} =\frac{χ}{2} [/math] [math]\qquad[/math] [math] θ_{2} =\frac{π - χ}{2} [/math]

[math] ú_{1} , ú_{2} [/math] - абсолютные величины скоростей шаров после столкновения.

[math] ú_{1} = \cos\left(\frac{θ}{2}\right) v [/math] [math]\qquad[/math] [math] ú_{2} = \sin\left(\frac{θ}{2}\right)v [/math] , [math]\qquad[/math]где [math] v = v_{2} - v_{1} [/math]


Рассмотрим частный случай (рис.2): [math] l_{1} = 560 [/math]мм. - расстояние от прицельного шара до верхней левой лузы, [math] l_{2} = 969 [/math]мм. - расстояние от битка до верхней правой лузы, в момент соприкосновения шаров, [math] l = 700[/math]мм. - расстояние между шарами в начальный момент времени.

Угол разлета шаров после удара 90°, значит можем рассчитать [math] θ_{1}, θ_{2} [/math]

[math]\Downarrow [/math]

[math] θ_{1} =\frac{π}{6}\ [/math] [math]\qquad[/math] [math] θ_{2} =\frac{π}{3}\ [/math]

В таком случае, после соударения шаров, они приобретут скорости:

[math] ú_{1} =\frac{\sqrt3}{2}\ v [/math] [math]\qquad[/math] [math] ú_{2} =\frac{1}{2}\ v [/math] ,[math]\qquad[/math] где искомая скорость [math] v = v_{2} [/math], т.к. в нашем случае прицельный шар в начальный момент времени неподвижен.

В рассмотренном случае угол, под которым производится удар, по отношению к оси OX равен [math] \frac{π}{2}\ [/math]. В общем случае этот угол зависит от расположения битка.

Обсуждение результатов и выводы

RaspolpzhenieBitka.PNG

Таким образом, в ходе работы над проектом была написана программа, моделирующая процесс игры в бильярд, а так же смоделирован рассматриваемый удар, целью, которого являются оба шара. Были рассчитаны скорость и угол направления удара в рассматриваемом случае. Установлены возможные положения шаров, когда целью удара является один или оба шара (рис.3 и рис.4). А на рис.5 указана область расположения для прицельного шара, когда стоит задача загнать в верхние лузы оба шара.



Скачать отчет:
Скачать презентацию:

Ссылки по теме

См. также