Потенциал Морзе

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск
Кафедра ТМ > Научный справочник > Потенциалы взаимодействия > Парные силовые > Морзе

Парный силовой потенциал взаимодействия. Определяется формулой:

[math] \varPi(r) = D\left[e^{-2\alpha(r-a)}-2e^{-\alpha(r-a)}\right], [/math]

где

  • [math]D[/math] — энергия связи,
  • [math]a[/math] — длина связи,
  • [math]\alpha[/math] — параметр, характеризующий ширину потенциальной ямы.

Потенциал имеет один безразмерный параметр [math]\alpha a[/math]. Сила, соответствующая потенциалу Морзе, вычисляется по формуле

[math] F(r) = -\varPi'(r) = 2\alpha D\left[e^{-2\alpha(r-a)}-e^{-\alpha(r-a)}\right]. [/math]

Для потенциала Морзе жесткость связи, критическая длина связи и прочность связи, соответственно, равны

[math]C = \varPi''(a) = 2\alpha^2D, \qquad b = a + \frac{\ln2}{\alpha}, \qquad P = |F(b)| = \frac{\alpha D}2.[/math]

Сравнение взаимодействия Морзе с взаимодействием Леннарда-Джонса приведено на интерактивных графиках ниже. Показана зависимость от расстояния потенциала [math]\varPi[/math] и силы [math]F[/math]. Сравнение проведено при одинаковых значениях энергии связи [math]D[/math] и длины связи [math]a[/math]. Перемещение слайдера позволяет проследить влияние безразмерного параметра [math]\alpha a[/math], при этом энергия связи [math]D[/math] и длина связи [math]a[/math] остаются неизменными. Значения критической длины связи [math]b[/math] и прочности связи [math]P[/math], отмеченные на графиках, соответствуют потенциалу Леннарда-Джонса. <addscript src=MLJ/>

Не удается найти HTML-файл MLJ_TM.html

Из графиков видно, что при [math]\alpha a = 6[/math] графики, характеризующие взаимодействие Морзе и Леннарда-Джонса, близки. В частности, в этом случае для них совпадает жесткость связи [math]C = \varPi''(a)[/math]. При увеличении [math]\alpha a[/math] ширина потенциальной ямы для взаимодействия Морзе уменьшается, взаимодействие становится более жестким и хрупким. Уменьшение [math]\alpha a[/math] приводит к противоположным изменениям — потенциальная яма расширяется, жесткость падает.

Текст программы построения графиков на языке JavaScript: <toggledisplay status=hide showtext="Показать↓" hidetext="Скрыть↑" linkstyle="font-size:default"> Файл "MLJ.js" 

// Сравнение взаимодействий Морзе и Леннарда-Джонса
// Разработчик А. М. Кривцов
// 02.05.2014
// Интернет: tm.spbstu.ru/Morse

function MainMLJ(canvas_1, canvas_2, Slider_01, Text_01) {

    // Предварительные установки

	const X_max = canvas_1.width;
 	const Y_max = canvas_1.height;
	
    // Размерные параметры
    
    const a = 1.;    // длина связи
    const D = 1.;    // энергия связи

    // Расчет параметров взаимодействия

    const b = a * Math.pow(13./7, 1./6);    // положение минимума силы Леннарда-Джонса (= 1.1086834 a)
    const b2 = b * b;
    const P0 = 12 * D / a;                  // коэффициент в выражении для силы Леннарда-Джонса
    const P = 42. / 169 * P0 / b;           // модуль минимума силы Леннарда-Джонса

    // Задаваемые параметры
   
    var kappa = 6;  						// безразмерный параметр взаимодействия Морзе
    var ac = 1.4 * a;  var ac2 = ac * ac;   // радиус обрезания взаимодействия
    
    const fps = 50;                         // frames per second - число кадров в секунду (качество отображения)

    // Область построения графика
    const x_min = 0.1 * a;  
    const x_max = 2.5 * a;
    const y_min_1 = -1.5 * D;    
    const y_max_1 = -y_min_1;    
    const y_min_2 = -1.5 * P;    
    const y_max_2 = -y_min_2;    
       
    // Установка слайдера
 
    // функция, запускающаяся при перемещении слайдера
    this.set_01 = function(input_01) 
	{ 
		kappa = input_01;	// input_01 - значение на слайдере 
		draw_1(); draw_2();
	} 

    // настройка слайдеров и текстовых полей
    Slider_01.min = 2;       	// лучше было бы взять Slider_01.min = b, но b не кратно значению Slider_01.step, что портит слайдер
    Slider_01.max = 18;
    Slider_01.step = 0.1;
    Slider_01.value = kappa;     // значение ползунка должно задаваться после min, max и step
    Text_01.value = kappa;
    
	draw_1(); draw_2();

    // Отображение
	
	function draw_1()
    {
	   // Расчет параметров графики
		
		const y_min = y_min_1;    
		const y_max = y_max_1;    
		
		const N = X_max;                 	// число точек по оси x
		const dx = x_max / N;            	// шаг по оси x
		const sx = X_max / x_max;        	// масштаб по оси x
		const sy = Y_max / (y_max - y_min); // масштаб по оси y
		const Y0 = Y_max + y_min * sy;  	// положение 0 оси y в экранных координатах

		var context = canvas_1.getContext("2d");  // на context происходит рисование

		context.clearRect(0, 0, X_max, Y_max);    // очистить экран
        
        // Горизонтальная ось
        context.strokeStyle = 'lightgrey';
        context.beginPath();
        context.moveTo(0, Y0);
        context.lineTo(X_max, Y0);
        context.stroke();

        // Пунктирные линии
        context.beginPath();
        context.setLineDash([5]);
        context.moveTo(a * sx, Y0);
        context.lineTo(a * sx, Y0 + D * sy);
        context.lineTo(0,      Y0 + D * sy);
        context.stroke();
        context.setLineDash([0]);

        // Надписи
        context.fillStyle = 'black';
        context.font = "italic 20px Times"
        context.fillText("r", x_max * sx - 15, Y0 - 7);
        context.fillText("Π", 5, 20);
        context.fillText("0", 3, Y0 - 3);
        context.fillStyle = 'grey';
        context.fillText("a", a * sx - 5, Y0 - 3);
        context.fillText("-D", 3, Y0 + D * sy - 5);

        // График (потенциал Леннарда-Джонса)
        context.strokeStyle = 'black';
        context.beginPath();
        for (var x = x_min; x < x_max; x+=dx)
        {
            var y = U_LJ(x);
            
            var X = x * sx; 
            var Y = Y0 - y * sy; 

            if (x == x_min) context.moveTo(X, Y);
            else            context.lineTo(X, Y);
        }
        context.stroke();

        // График (потенциал Морзе)
        context.strokeStyle = 'blue';
        context.beginPath();
        for (var x = x_min; x < x_max; x+=dx)
        {
            var y = U_Morse(x);
            
            var X = x * sx; 
            var Y = Y0 - y * sy; 

            if (x == x_min) context.moveTo(X, Y);
            else            context.lineTo(X, Y);
        }
        context.stroke();
	}

    function draw_2()
    {
	   // Расчет параметров графики
		
		const y_min = y_min_2;    
		const y_max = y_max_2;    
		
		const N = X_max;                 	// число точек по оси x
		const dx = x_max / N;            	// шаг по оси x
		const sx = X_max / x_max;        	// масштаб по оси x
		const sy = Y_max / (y_max - y_min); // масштаб по оси y
		const Y0 = Y_max + y_min * sy;  	// положение 0 оси y в экранных координатах

		var context = canvas_2.getContext("2d");  // на context происходит рисование

		context.clearRect(0, 0, X_max, Y_max);          // очистить экран
        
        // Горизонтальная ось
        context.strokeStyle = 'lightgrey';
        context.beginPath();
        context.moveTo(0, Y0);
        context.lineTo(X_max, Y0);
        context.stroke();

        // Пунктирные линии
        context.beginPath();
        context.setLineDash([5]);
        context.moveTo(b * sx, Y0);
        context.lineTo(b * sx, Y0 + P * sy);
        context.lineTo(0,      Y0 + P * sy);
        context.stroke();
        context.setLineDash([0]);

        // Надписи
        context.fillStyle = 'black';
        context.font = "italic 20px Times";
        context.fillText("r", x_max * sx - 15, Y0 - 7);
        context.fillText("F", 5, 20);
        context.fillText("0", 3, Y0 - 3);
        context.fillStyle = 'grey';
        context.fillText("a", a * sx + 3, Y0 - 3);
        context.fillText("b", b * sx - 3, Y0 - 3);
        context.fillText("-P", 3, Y0 + P * sy - 5);
        var dX = 0, dY = 0;

        // График (полная сила Леннарда-Джонса)
        context.strokeStyle = 'black';
        context.beginPath();
        for (var x = x_min; x < x_max; x+=dx)
        {
            var y = F_LJ(x);
            
            var X = x * sx; 
            var Y = Y0 - y * sy; 

            if (x == x_min) context.moveTo(X, Y);
            else            context.lineTo(X, Y);
        }
        context.stroke();

        // График (полная сила Морзе)
        context.strokeStyle = 'blue';
        context.beginPath();
        for (var x = x_min; x < x_max; x+=dx)
        {
            var y = F_Morse(x);
            
            var X = x * sx; 
            var Y = Y0 - y * sy; 

            if (x == x_min) context.moveTo(X, Y);
            else            context.lineTo(X, Y);
        }
        context.stroke();
	}

    // Потенциал Морзе
    
    function U_Morse(r)
    {
        var al = kappa / a;
		var s = Math.exp(al * (a - r));
        return D * s * (s - 2);
    }

	// Сила Морзе
    
    function F_Morse(r)
    {
        var al = kappa / a;
		var s = Math.exp(al * (a - r));
        return 2 * al * D * s * (s - 1);
    }
 
    // Потенциал Леннарда-Джонса
    
    function U_LJ(r)
    {
        var s2 = 1 / (r * r);
        var s6 = s2 * s2 * s2;
        return D * s6 * (s6 - 2);
    }    
	
	// Сила Леннарда-Джонса
    
    function F_LJ(r)
    {
        var s2 = 1 / (r * r);
        var s4 = s2 * s2;
        return P0 * s4 * s4 * (s4 * s2 - 1) * r;
    }
 
}

Файл "MLJ.html" 

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
    <meta charset="UTF-8" />
    <title>Morse & Lennard-Jones</title>
    <script src="MLJ.js"></script>
</head>
<body>
    <canvas id="canvasGraph_1" width="800" height="300" style="border:1px solid #000000;"></canvas>
    <canvas id="canvasGraph_2" width="800" height="300" style="border:1px solid #000000;"></canvas>

    <div>
        Взаимодействие:
        <font color="#000000" size="5"><B>—</B></font> Леннарда-Джонса,
        <font color="#0000ff" size="5"><B>—</B></font> Морзе<BR>
    </div>

    <!--слайдер-->
    <div>Безразмерный параметр потенциала Морзе:
        <input type="range" id="Slider_01" style="width: 150px;" oninput="app.set_01(this.value); document.getElementById('Text_01').value = this.value;">
        <font face= "Times New Roman"><I>αa</I> =
        <input id="Text_01" style="width: 4.2ex;" required pattern="[-+]?([0-9]*\.[0-9]+|[0-9]+)" oninput="
            // если введено не число - строка не пройдет валидацию по паттерну выше, и checkValidity() вернет false
            if (!this.checkValidity()) return;
            app.set_01(this.value);
            document.getElementById('Slider_01').value = this.value;
        ">
     </font></div>
    <br>
    
    <script type="text/javascript">var app = new MainMLJ(document.getElementById('canvasGraph_1'), document.getElementById('canvasGraph_2'),
            document.getElementById('Slider_01'), document.getElementById('Text_01'));</script>

    <div style="clear:both;"></div>
</body>
</html>

</toggledisplay>

См. также

Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Потенциал_Морзе&oldid=25102»