Тема проекта
Описание колебаний двойного маятника
Постановка задачи
Стержень прикреплен к потолку посредством циллиндрического шарнира. Cнизу к этому стержню прикреплен второй также посредством циллиндрического шарнира таким образом что когда маятник вытянут вдоль вертикали, обе оси вращения шарниров расположены в горизонтальной плоскости а угол между ними составляет [math]\alpha[/math]. Диссипативные силы не учитываются.
Параметры системы:
- Тензоры инерции первого и второго стержней равны [math]\underline{\underline{\Theta}}_1[/math] и [math]\underline{\underline{\Theta}}_2[/math] соответственно.
- Длины стержней равны a и b, их массы [math]m_1[/math] и [math]m_2[/math] соответственно первому и второму стержням.
- Угол между осями вращения шарниров равен [math]\alpha[/math]
- [math]\varphi[/math] - угол между первым стержнем и вертикалью
- [math]\psi[/math] - угол между осью первого стержня и вторым стержнем т.е. угол во втором шарнире относительно вытянутого положения
Задача:
- Найти уравнение движения системы
Решение
Определимся с подходом к решению: Задачу будем решать при помощи уравнения Лагранжа имеющего следующий вид:
[math]\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i} = -\frac{\partial \Pi}{\partial q_i}+Q_i[/math]
- [math]T[/math] - Кинетическая энергия системы
- [math]\Pi[/math] - Потенциальная энергия системы
- [math]q_i[/math] - Обобщенные координаты
- [math]\dot{q}_i[/math] - Обобщенные скорости
- [math]Q_i[/math] - Обобщенные непотенциальные силы
Выберем обобщенные координаты: в качестве обобщенных координат возьмем углы [math]\varphi[/math] и [math]\psi[/math]
- В нашем случае отсутствуют обощенные силы, соответствующие непотенциальным взаимодействиям.
Найдем потенциальную и кинетическую энергии системы: [math]\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 [/math] соответственно первого и второго стержней.
[math]\Pi = \Pi_1 + \Pi_2[/math] - Потенциальная энергия системы
[math]T = T_1 + T_2[/math] - Кинетическая энергия системы
[math]T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}[/math] - Кинетическая энергия первого стержня
[math]\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)[/math] - Потенциальная энергия первого стержня
[math]T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2}[/math] - Кинетическая энергия второго стержня
[math]\underline{\omega}_2 = ?[/math]
Найдем вектор угловой скорости второго стержня:
Для нахождения [math]\underline{\omega}_2[/math] найдем тензоры поворота первого и второго стержней
[math]\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)[/math]
[math]\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e}) = \underline{e}\underline{e} + (\underline{\underline{E}} - \underline{e}\underline{e})cos(\psi) + \underline{e} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)[/math]
Где:
[math]\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0[/math] - ось вращения второго стержня в данном положении
[math]\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i}[/math] - ось вращения второго стержня в начальном положении
[math]\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1[/math] - полный тензор поворота второго стержня
Теперь по формуле сложения угловых скоростей
[math]\underline{\omega}_2 = \underline{\tilde{\omega}}_2 + \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\omega}_1[/math]
Где:
[math]\underline{\tilde{\omega}}_2 = \dot{\psi} \underline{e}[/math]
Таким образом получаем что:
[math]\underline{\omega}_2 = \dot{\psi} \underline{e} + \underline{\underline{P}}_2 \cdot \dot{\varphi} \underline{k}[/math]
[math]\underline{\underline{P}}_2 = ?[/math]
Найдем тензор поворота второго стержня:
Для этого произведем некоторые промежуточные вычисления
[math]\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0 = \cos(\varphi)\sin(\alpha)\underline{i} + \sin(\varphi)\sin(\alpha)\underline{j} + \cos(\alpha)\underline{k}[/math] - ось вращения второго стержня при данном положении системы
[math]\underline{e}\underline{e} = cos^2(\varphi)sin^2(\alpha)\underline{ii} + cos(\varphi)sin(\varphi)sin^2(\alpha)\underline{ij} + cos(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{ik} + cos(\varphi)sin(\varphi)sin^2(\alpha)\underline{ji} + sin^2(\varphi)sin^2(\alpha)\underline{jj} + sin(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{jk} + cos(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{ki} + sin(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{kj} + cos^2(\alpha)\underline{kk}[/math]
[math]\underline{ee}\cdot \dot{\varphi}\underline{k} = \dot{\varphi} \left[cos(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{i} + sin(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{j} + cos^2(\alpha)\underline{k}\right][/math]
[math]\left(\underline{\underline{E}} - \underline{ee}\right)\cdot \dot{\varphi}\underline{k} =\dot{\varphi} \left[\underline{k} - cos(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{i} - sin(\varphi)cos(\alpha)sin(\alpha)\underline{j} - cos^2(\alpha)\underline{k} \right][/math]
[math]\underline{e} \times \underline{\underline{E}} = cos(\varphi)sin(\alpha)\underline{kj} - cos(\varphi)sin(\alpha)\underline{jk} - sin(\varphi)sin(\alpha)\underline{ki} - sin(\varphi)sin(\alpha)\underline{ik} + cos(\alpha)\underline{ji} - cos(\alpha)\underline{ij}[/math]
[math](\underline{e} \times \underline{\underline{E}}) \cdot \dot{\varphi}\underline{k} = \dot{\varphi}\left[ -sin(\varphi)sin(\alpha)\underline{i} -cos(\varphi)sin(\alpha)\underline{j} \right][/math]
В результате получаем выражение для вектора угловой скорости второго стержня
[math]\underline{\omega}_2 = \dot{\psi}\underline{e} + \underline{ee}\cdot \dot{\varphi}\underline{k} + cos(\psi) \left[\left(\underline{\underline{E}} - \underline{ee}\right)\cdot \dot{\varphi}\underline{k} \right] + sin(\psi)\left[(\underline{e} \times \underline{\underline{E}}) \cdot \dot{\varphi}\underline{k} \right] [/math]
Представим угловую скорость в виде:
[math]\underline{\omega}_2 = \omega_x \underline{i} + \omega_y \underline{j} + \omega_z \underline{k}[/math]
Тогда получим выражения для компонент угловой скорости:
[math]\omega_x = \dot\psi\cos\varphi\sin\alpha+(1-\cos\psi)\cos\alpha\cos\varphi\sin\alpha \dot\varphi - \sin\psi\sin\alpha\sin\varphi \dot\varphi[/math]
[math]\omega_y = \dot\psi\sin\varphi\sin\alpha+(1-\cos\psi)\cos\alpha\sin\varphi\sin\alpha \dot\varphi - \sin\psi\sin\alpha\cos\varphi \dot\varphi[/math]
[math]\omega_z = \dot\psi\cos\alpha + (1-\cos\psi)\cos^2\alpha\dot\varphi + \cos\psi\dot\varphi[/math]
Обсуждение результатов и выводы
Ссылки по теме
См. также
