Потенциал Кузькина-Кривцова: принцип построения

Приведем основные идеи построения потенциала Кузькина-Кривцова, изложенные в работе В.А. Кузькина, А.М. Кривцова "Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы" // ДАН, 2011 (направлено в печать).

Пусть частицы 1 и 2 взаимодействуют посредством сил и моментов, зависящих от их взаимного расположения и ориентации частиц. Введем следующие обозначения: [math]{\bf F}_i[/math], [math]{\bf M}_i[/math] - сила и момент, действующие на частицу i со стороны второй частицы, причем момент [math]{\bf M}_i[/math] вычислен относительно частицы i. Величины [math]{\bf F}_i[/math], [math]{\bf M}_i[/math] удовлетворяют третьему закону Ньютона для сил, аналогу третьего закона Ньютона для моментов и уравнению баланса энергии:

[math] {\bf F}_1=-{\bf F}_2 = {\bf F}, \quad {\bf M}_1 + {\bf M}_2-{\bf r}_{12} \times {\bf F} = 0, \quad \dot{U}= {\bf F}\cdot\dot{{\bf r}}_{12} - {\bf M}_1\cdot{\bf \omega}_1 - {\bf M}_2 \cdot{\bf \omega}_2, [/math]

где [math]{\bf r}_{12} = {\bf r}_2-{\bf r}_1[/math]; [math]{\bf r}_i[/math] - радиус-вектор частицы i; [math] {\bf \omega}_1, {\bf \omega}_2[/math] - угловые скорости частиц; U - внутренняя энергия системы. Будем искать внутреннюю энергию в виде функции векторов, жестко с частицами:

[math] U = U({\bf r}_{12}, { {\bf n}_1^j }_{j \in \Lambda_1}, {{\bf n}_2^j }_{j \in \Lambda_2}), [/math]

где [math]\{ {\bf n}_1^j \}_{j \in \Lambda_1}, \{{\bf n}_2^j \}_{j \in \Lambda_2} [/math] - два множества единичных векторов, жестко связанных с частицами 1 и 2 соответственно, [math]\Lambda_1, \Lambda_2[/math] - множества индексов. В силу принципа материальной объективности внутренняя энергия должна зависеть от инвариантных величин: [math] r_{12}, {\bf e}_{12}\cdot {\bf n}_i^j, {\bf n}_1^j\cdot {\bf n}_2^k [/math]. Формулы, связывающие силы и моменты, действующие между частицами, с внутренней энергией имеют вид:

[math] {\bf F} = \frac{\partial U}{\partial {\bf r}_{12}}, \quad {\bf M}_i = \sum_{j \in \Lambda_i} \frac{\partial U}{\partial {\bf n}_i^j}\times{\bf n}_i^j, \quad i=1,2. [/math]

Для построения моментного потенциала для sp² углерода введем единичные векторы [math]{\bf n}_i^j, j=1,..,4[/math], связанные с частицей i. Векторы [math]{\bf n}_i^1, {\bf n}_i^2, {\bf n}_i^3[/math] располагаются в одной плоскости под углами [math] 2\pi/3[/math] друг к другу. Вектор [math]{\bf n}_i^4[/math] определяется соотношением [math]{\bf n}_i^4 = 2{\bf n}_i^1 \times {\bf n}_i^2/\sqrt{3}[/math]. Энергия взаимодействия частиц 1 и 2 представляется в виде:

[math] U = \phi_R(r_{12}) + \phi_A(r_{12})(U_B + U_T), [/math]

[math] U_B = \sum_{j,k=1}^3 \eta({\bf n}_1^j\cdot{\bf n}_2^k) [\psi({\bf e}_{12}\cdot{\bf n}_1^j) + \psi({\bf e}_{21}\cdot{\bf n}_2^k)], [/math]

[math] U_T = U_T({\bf n}_1^4 \cdot {\bf n}_2^4, {\bf e}_{12} \cdot {\bf n}_1^4, {\bf e}_{21} \cdot {\bf n}_2^4), [/math]

где [math] {\bf e}_{12} = {\bf r}_{12}/r_{12}[/math]. Функции [math] \phi_R, \phi_A[/math] описывают притяжение/отталкивание между частицами; [math]U_B, U_T[/math] обеспечивают сопротивление связи сдвигу, изгибу и кручению.