Курсовой проект по Механике дискретных сред
Исполнитель: Садовченко Екатерина
Группа: 5030103/90101
Семестр: осень 2022
Постановка задачи
В рамках проекта необходимо смоделировать движение двумерной цепочки: провис цепочки и ее падение при отпускании одного из концов под действием силы тяжести.
Математическая модель
Изначально запишем закон движения:
[math]
m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}+\underline{F}_{i+1} + \underline{F}_{g}\\
\underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n
[/math]
где
[math]
\underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\
[/math] - силы упругости действующие на [math]i[/math]-ую частицу со стороны [math]i-1[/math] и [math]i+1[/math] соответственно, а [math] \underline{F}_{g}=-mg\underline{k} \\ [/math] - сила тяжести.
Далее распишем силу упругости как произведение модуля на соответсвующий орт:
[math]
\underline{F}_{i+1}= c(|\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}| - l_0)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{|\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}|}
[/math], где [math]c[/math] - коэффициент жесткости пружины.
Аналогично записывается сила [math]\underline{F}_{i-1}[/math].
Далее подставляя все силы в уравнение движения, получим:
[math]
m\underline{\ddot{r}}_i(t)= c(||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i|| - 1)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i||} + c(||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i|| - 1)\frac{(\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i||} - mg\underline{k}\\
[/math]
Дальнейшее интегрирование уравнения производится с помощью явного симплектического метода Верле.
[math] \begin{cases}
V_{i+1} = V_i+A_i\Delta{t}\\
X_{i+1} = X_i+V_{i+1}\Delta{t},
\end{cases} [/math]
