Моделирование теплового потока в дискретной среде методами разрушения

Дипломная работа

Исполнитель: Колбасов Алексей

Группа: 5030103/90101

Семестр: осень 2022

На макроскопическом уровне распространение тепла в большинстве материалов описывается законом Фурье, согласно которому тепловой поток пропорционален градиенту температуры. Являясь удобной математической моделью, закон Фурье приводит к ряду физических парадоксов, таких, как мгновенное распространение тепла. Заметные отклонения от закона Фурье наблюдаются на малых временных и пространственных масштабах. Кроме того известно, что в простейших дискретных системах, таких как одномерный гармонический кристалл (цепочка частиц, связанных линейными пружинами) распространение тепла не подчиняется закону Фурье. В настоящее время вопрос о распространения тепла в идеальных кристаллических системах остается открытым. Вместе с тем, данный вопрос приобретает особую актуальность, так как с развитием нанотехнологий расширяется возможность применения идеальных бездефектных кристаллов и их уникальных теплопроводящих свойств. Кроме того, рациональное описание процессов теплопереноса необходимо для замыкания уравнений механики дискретных сред и приложения их к описанию термомеханики твердых тел на наномасштабном уровне.

Математическая модель

[math] m \ddot{U_n} = c(U_{n+1}-2U_{n}+U_{n-1}) + \sum_{i=1}^{N} \frac{12 D_i}{a_i}( (\frac{a_i}{r})^{13}-(\frac{a_i}{r}^7)) [/math]

С начальными условиями

[math] u_i^0(0) = 0, v_i^0(0) = \rho_i \sqrt{(A+B \sin(\lambda kx))} [/math]

Где

<math>

  D_i, a_i 

<math> - параметры, которые подирались методом минимизации квадрата ошибки.

В качестве метода интегрирования был выбран метод Верле. Разностная схема выглядит соответствующим образом.

<math>

  V_{i+1} = V_{i} + w^2(U_{i+1}-2U_i+U_{i-1}) + \sum_{i=1}^{N} \phi(D_i,a_i)
  U_{i+1} = U_{i} + V_{i+1} \Delta t

<math>

Первоначальная задача состоит в том, чтобы найти параметры <math> D_i, a_i , N <math>, чтобы отклонения от закону Фурье было меньше 10%. Второстепенная заключается в том, чтобы найти оптимальные параметры с учетом количества операций (найти функционал J), который бы имел примерный вид:

<math>

  J(t) = \int_0^t r^2 e^2 + q^2 n N dt

<math>

Где <math> r, q<math> - коэффициенты, <math> e^2 <math> квадрат ошибки.

Исходный код программы

Исходный код программы представлен где-то там