Мещерский 47.13

Условия задачи

Стержень [math]DE[/math] массы [math]M_1[/math] лежит на трех катках A, B и C массы [math]M_2[/math] каждый. К стержню приложена по горизонтали вправо сила [math]F[/math], приводящая в движение стержень и катки. Скольжение между стержнем и катками, а также между катками и горизонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня [math]DE[/math]. Катки считать однородными круглыми цилиндрами.

Решение

Общее уравнение динамики:
[math]\sum\ (δA_{i}(i)+δA_{j}(j))= 0[/math]
В механической системе с идеальными связями сумма элементарных работ, совершаемых активными силами и силами инерции на любом возможном (виртуальном) перемещении равна нулю.
Сумма работ активных сил:
[math]\sum\ δA_{i}(i)=F δS[/math]
Учитывая, что точки касания для 3-х катков с плоскостью - мгновенный центр скоростей, найдем угловую скорость и ускорение: [math] ω = \frac{V}{2 r} [/math]
[math] ε = \frac{a}{2 r} [/math]
Находим силы инерции и моменты сил инерции относительно его центральной оси:
[math] Φ_i = -m_i a_i[/math]
[math] M_i = -J_i ε_i[/math]
Для стержня: [math] Φ_1 = -M_1 a [/math]
Для катков с одинаковыми массами получаем:
[math] Φ_2 = -\frac{3 M_2 a}{2} [/math]
[math] M_2 = -3 J ε = -\frac{3 M_2 R^2}{2}\frac{a}{2 R} =-\frac{3 M_2 R a}{4}[/math]
Находим сумму работ сил инерции:
[math]\sum\ δA_{j}(j)= -M_1 a δS-\frac{3 M_2 a}{4} δS-\frac{3 M_2 R}{8 R} δS[/math]
Подставляем в общее уравнение динамики и сокращаем [math]δS[/math] :
[math]\sum\ (δA_{i}(i)+δA_{j}(j)= F - M_1 a -\frac{3 M_2 a}{4} -\frac{3 M_2 R a}{8 R}[/math]
Отсюда находим искомое ускорение: [math] a = \frac{8 F}{8 M_1 + 9 M_2}[/math]