Мещерский 48.15

Задача: С помощью языка программирования JavaScript смоделировать колебания маятника, точка подвеса которого движется по заданному закону.

Возможности программы

• изменение угла наклона прямой

Решение частного случая

Условия задачи:

Точка подвеса маятника, состоящего из материальной точки массы [math]m[/math] на нерастяжимой нити длины [math]l[/math], движется по заданному закону [math]ξ=ξ0(t)[/math] по наклонной прямой, образующей угол [math]α[/math] с горизонтом. Составить уравнение движения маятника.

Решение:

Кинетическая энергия маятника [math]T = \frac{m{V}^2}{2}[/math] , где [math]\overline{V} = \overline{V_e} + \overline{V_r}[/math]. Здесь [math]V_e = \dot{ξ}, V_r = \dot{φ}l[/math]. Тогда квадрат скорости равен [math]{V}^2 = \dot{ξ}^2 + l^2\dot{φ}^2 + 2 l \dot{φ} \dot{ξ} cos(φ-α)[/math] и кинетическая энергия равна соответственно [math]T = \frac{m}{2}(\dot{ξ}^2 + l^2\dot{φ}^2 + 2 l \dot{φ} \dot{ξ} cos(φ-α))[/math] Потенциальная энергия будет равна [math]U = -m g l (1-cosφ)[/math]

Уравнение Лагранжа для системы с одной степенью свободы имеет вид: [math]\frac{d}{dt}(\frac{dT}{d\dot{φ}}) - \frac{dT}{d{φ}}= Q[/math]

Вычисляем производные, входящие в это уравнение

[math]\frac{dT}{d\dot{φ}} = \frac{m}{2}(2 l^2 \dot{φ} + 2 l \dot{ξ} cos(φ-α))[/math]

[math]\frac{dT}{dφ} = 0[/math]

[math]Q = \frac{dU}{dφ} = -m g l sinφ[/math]

[math]\frac{d}{dt}(\frac{dT}{d\dot{φ}}) = \frac{m}{2}(2 l^2 \dot{φ} + 2 l \dot{ξ} cos(φ-α))[/math]

Подставим полученные производные в уравнение Лагранжа: [math]m(l^2 {φ̈} + l {ξ̈} cos(φ-α)) = -m g l sinφ[/math] , поделим обе части уравнения на [math]l^2[/math] и получим

[math]{φ̈} + \frac{{ξ̈}}{l} cos(φ-α)) + \frac{g}{l} sinφ = 0[/math]