Совершенствование алгоритмов численного моделирования в методе динамики частиц

Задача

• ...

Модифицированный метод Рунге-Кутты

Рассмотрим задачу Коши

[math] dx/dt=f(x,t) \ \ (1) [/math]

[math] x(0)=x_0 [/math]

Для неизвестной вектор-функции x(t), в качестве которой для примера может быть взят вектор [math] (r,v) = (x,y,z,u,v,w) [/math] координат позиции и скорости тела. Данная задача может быть решена численно классическим методом Рунге-Кутты четвёртого порядка.

[math] k_1=Δtf(x_n,t_n ) [/math]

[math] k_2=Δtf(x_n+k_1/2,t_n+Δt/2) [/math]

[math] k_3=Δtf(x_n+k_2/2,t_n+Δt/2) [/math]

[math] k_4=Δtf(x_n+k_3,t_n+Δt) [/math]

[math] x_(n+1)=x_n+1/6 (k_1+2k_2+2k_3+k_4 ) \ \ (2) [/math]

По сравнению с методами Эйлера, Лагранжа и Верле, данный метод имеет более высокий порядок точности. Однако классический метод Рунге-Кутты четвёртого порядка имеет одну особенность, связанную с необходимостью вычислять функцию [math] f(x,t) [/math] четыре раза за одну временную итерацию. Потому этот метод становится неэффективным в вычислительных задачах, где основное расчётное время тратится на вычисление правой части системы дифференциальных уравнений, как, например, это имеет место в случае расчёта молекулярно-динамической задачи множества частиц. Вследствие данной особенности применение метода Рунге-Кутты становится неэффективным и даже его исключительная точность теряет свою значимость.

Ниже приводится модификация метода Рунге-Кутты 4 порядка, где с помощью одного хитрого приёма удаётся избежать многократного вычисления функцию [math] f(x,t) [/math] на одном временном шаге и в то же время сохранить высокий порядок по времени.

Идея заключается в разложении функций [math] f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2) [/math] в ряд Тейлора в окрестности точки [math] (x_n,t_n) [/math].

[math] f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2)= \frac {\partial f} {\partial x} (x_n,t_n )∙k_i/2+ \frac {\partial f} {\partial t} (x_n,t_n ) Δt/2 + ... / / (3) [/math]

Здесь присутствуют малоприятные производные, однако, как потом окажется, с ними можно будет легко разобраться. Сколько членов в разложении нужно оставить, чтобы в схеме сохранился четвёртый порядок? – До [math] (Δt)^4 [/math] и [math] (k_i )^4 [/math] или меньше?

Для слагаемых с локальными производными по времени ответ очевиден – необходимо удерживать всё вплоть до [math] (Δt)^4 [/math], ибо в противном случае мы потеряем наш 4-й порядок по времени для схемы в целом. Однако для [math] k_i [/math] на самом деле достаточно только первой производной.

В случае, когда правая часть (1) не зависит явно от времени, (3) предельно упрощается.

[math] f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2)=∂f/∂x (x_n,t_n )∙k_i/2 / / (4) [/math]

Данная ситуация имеет место при молекулярно-динамическом моделировании, поскольку потенциал взаимодействия, как правило, является функцией только координат и скоростей частиц.

Запишем (4) в случае молекулярно-динамического моделирования. В нашем случае неизвестная вектор-функция [math] x = {r,v} [/math].

[math] (x,t)=(v,\frac{F(r)}{m}) [/math]

[math] f(x_n+k_i/2,t_n+Δt/2) = (v,\frac{F(r+k_i^(r)/2)}{m}) = ( v+\frac {k_1^(v)}{2},\frac {F(r+\frac {k_1^(r)}{2}}{m} )= [/math]

[math] ={v+(k_1^((v) ))/2,(F_n+dF/dr (r) (k_1^((r) ))/2)/m} / / (5) [/math]

где

[math] \frac {dF}{dr} ≈ \frac {ΔF}{Δr} = \frac {ΔF}{Δr} \frac {Δt}{Δt} = \frac {ΔF}{Δt} \frac {Δt}{Δr} =\frac {F_n - F_(n-1)}{Δt } \frac {1}{v} / / (6) [/math]

Обезразмеривание системы как способ уменьшения накопления вычислительной ошибки

• ...

Frozen Particles & Press Particles

• ...