Управление нелинейными волновыми процессами в нелинейных механических системах
МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ
Автор работы: Антонов И.Д.
Научный руководитель: д.ф-м.н., профессор А.В. Порубов
Введение
В последнее время в разных областях науки наблюдается рост интереса к изучению динамики нелинейных волн. Что же такое нелинейные волны? Нелинейность противопоставляется линейности, то есть подразумевается, что нелинейные волны должны обладать рядом определяющих их свойств, не присущих линейным волнам.
С физической точки зрения, когда говорится о нелинейности, подчеркиваются физические свойства нелинейных волн. Так, волны достаточно малой амплитуды, то есть линейные волны, при распространении в среде не искажаются и не взаимодействуют друг с другом. В то же время волны большей амплитуды — нелинейные — обладают другими свойствами: скорость их начинает зависеть от амплитуды, а также между волнами может осуществляться взаимодействие. Подчеркивается, что для линейных волн, в отличие от нелинейных, выполняется принцип суперпозиции.
С математической же точки зрения, когда говорится о нелинейности, подчеркиваются свойства нелинейных дифференциальных уравнений, которыми описываются процессы в рассматриваемых динамических системах. Для линейных дифференциальных уравнений разработаны и хорошо изучены методы получения их решения. С другой стороны, для нелинейных уравнений нет общего метода их поиска. Получение точных решений нелинейных дифференциальных уравнений представляет собой более трудную и творческую задачу.
Одно из самых известных и изучаемых нелинейных уравнений, среди точных решений которого выделяются уединенные локализованные нелинейные волны-солитоны, — уравнение синус-Гордона. Существует простая механическая интерпретация уравнения синус-Гордона — модель Скотта — механическая система, представляющая из себя маятниковую решетку, в которой распространяются крутильные волны. Теоретически такую систему можно использовать для демонстрации солитонных решений уравнения синус-Гордона. Математически для этого необходимо, чтобы профиль формы и скорости волны в начальный момент времени был задан в виде одного из точных решений уравнения синус-Гордона. На практике точно реализовать такую ситуацию довольно сложно и, соответственно, сложно получить и поддерживать в среде солитон желаемой формы и скорости. При этом поддержание волны в виде солитона представляет собой серьезный научный интерес, так как солитоны могут переносить довольно большую энергию, способную разрушать материал, а так же передавать информацию на большие расстояния. Возникает вопрос: можно ли каким-нибудь способом восстанавливать форму волны и поддерживать в виде солитона для механических структур, описываемых нелинейными уравнениями, такими как уравнение синус-Гордона?
В этих целях могут применяться методы теории управления. Данная работа посвящена изучению и разработке современных методов управления локализованными нелинейными волнами в механических системах.
Первая часть работы
В первой части работы описывается алгоритм распределенного управления волнами в механической среде, поведение которых описывается уравнениями, подобными уравнению синус-Гордона. Для подобного уравнения уже было показано в предыдущих работах, что распределенное управление можно успешно применять для поддержания локализованных волн в случае, если начальные условия не соответствуют точному решению уравнения. Однако в этих работах поддерживаемые управлением волны задавались в виде точных решений уравнения синус-Гордона. К тому же, алгоритм управления тестировался на математической модели, не привязанной к конкретной физической задаче. Одной из целей данной работы был поиск механической задачи, решение которой описывается модельными уравнениями, схожими с уравнением синус-Гордона. Помимо этого, было показано, что в качестве цели управления необязательно должен выбираться солитон, являющийся точным решением уравнения синус Гордона.
Рассмотренные уравнения:
Уравнение синус-Гордона с управлением:
Двойное уравнение синус-Гордона с управлением:
Дисперсионное уравнение синус-Гордона с управлением:
Вторая часть работы
Вторая часть работы посвящена исследованию распределенного управления связанными нелинейными волнами движущихся дефектов в двух атомных кристаллах. В данном случае распространение связанной локализованной волны может быть нарушено, например, неточным соответствием положений начальных форм каждой из волн. Алгоритм управления в таком случае может быть применен для достижения и поддержания обеими волна ми форм точного решения связанной системы уравнений. В частности, алгоритм может устранить осцилляции и другие дефекты в профилях распространяющихся волн, вызванных несоответствием положений максимумов связанных волн в момент генерации. Исследовался случай введения управления в одно из связанных уравнений.
Пример работы управления для дисперсионного уравнения синус-Гордона. Красным цветом -- целевая функция, синим -- численное решение в разные моменты времени
