Преобразование механической энергии в тепловую в одномерном кристалле

Материал из Department of Theoretical and Applied Mechanics
Перейти к: навигация, поиск

Выпускная квалификационная работа

Выполнил: студент группы 43604/1 Е. Б. Старобинский

Руководитель: доктор физ.-мат. наук, член-корр. РАН А. М. Кривцов

Введение

Cовременные нанотехнологии позволяют получать практически идеальные (бездефектные) материалы[1][2], отличающиеся по своим свойствам от материалов с дефектами[3]. В частности, тепловые процессы в таких наноструктурах протекают по иным, более сложным законам, чем для тел макроуровня. Знание этих законов и особенностей поведения наносистем имеет большое практическое значение при разработке новых устройств[4][5] и расширении области применения наноматериалов, в том числе на промышленном уровне. Однако описание наносистем с помощью существующих моделей сопряжено с существенными противоречиями экспериментальным данным, что связано как с отсутствием цельной теории, позволяющей описывать процессы наноуровня, так и с трудоёмкостью проведения натурных экспериментов. Компромиссом является численное моделирование наноструктур, при котором поведение материала является прямым следствием уравнений динамики. Минус такого подхода – необходимость рассчитывать крупные фрагменты материала, чтобы за исследумое время возмущение не успевало дойти до границ. Следовательно, требуются большие вычислительные мощности.

В 1953 году на суперкомпьютере Maniac I группа учёных, состоящая из Энрико Ферми, Станислава Улама, Джона Паста и Мэри Цингоу, численно решила задачу Коши[6] для системы дифференциальных уравнений, описывающую одномерный кристалл с нелинейным взаимодействием между частицами. С помощью синусоидальной волны задавалось начальное возмущение, ожидалось, что с течением времени энергия волны равномерно распределится по всем частицам. Оказалось, что сначала волна действительно теряет свою форму и энергию, но по прошествии достаточного времени почти точно возвращается к исходному состоянию. В дальнейшем это явление было названо «парадоксом Ферми-Паста-Улама-Цингоу», так как исследователям удалось доказать неспособность физики 20-го века описывать взаимодействия на наноуровне.

В данной работе рассматривается одна из нелинейных моделей кристалла, описанных Энрико Ферми. Ключевым отличием является введение тепловой энергии через задание дисперсии начальных скоростей.

Заключение

В работе проведено исследование перехода механической энергии в тепловую в одномерном кристалле. В качестве модели кристалла рассмотрена цепочка частиц одинаковой массы. Взаимодействие между частицами нелинейное: выражения для сил содержат квадратичную зависимость от расстояния между частицами.

Начальная механическая энергия системы задана с помощью синусоидальной волны. Рассмотрены две постановки: стоячая волна и бегущая волна, распространяющаяся в одном направлении. Начальные скорости частиц определены таким образом, чтобы удовлетворить равномерному температурному профилю в начальный момент времени.

В качестве меры механической энергии системы [math]E^*[/math] взято отношение энергии волны к её начальному значению. Для проведения исследования введён безразмерный параметр [math]\sigma_v^2[/math], характеризующий величину дисперсии флуктуаций скоростей в цепочке и равный отношению тепловой энергии к механической в начале расчёта.

Заданная механическая энергия с течением времени переходит в тепловую. Продемонстрирована необратимость этого процесса, а также зависимость скорости перехода от [math]\sigma_v^2[/math]: при увеличении дисперсии механическая энергия убывает быстрее. Функция убывания описана с помощью модифицированного экспоненциального закона: [math]E^* = e^{-\alpha \tau ^{\beta}}[/math], где [math]\tau[/math] – безразмерное время процесса, [math]\beta[/math] и [math]\alpha[/math]– функции от [math]\sigma_v^2[/math].

Зависимость [math]\alpha \! \left( \sigma_v^2 \right)[/math] и [math]\beta \! \left( \sigma_v^2 \right)[/math] получены экспериментально для серии [math]\sigma_v^2[/math]. Предложены аппроксимации этих функций для стойчей и бегущей волн.

[math] \beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 1 + \frac{1.08}{\sqrt{\sigma_{v}}}, \quad \alpha \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 0.14 \exp\!\left(- \frac{50}{5 + \sigma_{v}}\right), [/math]

[math] \beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 1 + \frac{1.55}{\sqrt{\sigma_{v}}}, \quad \alpha \! \left(\sigma_{v}^{2} \right) = 0.14 \exp\!\left(- \frac{97.5}{9.5 + \sigma_{v}}\right), [/math]

где [math]\sigma_{v}[/math] – среднеквадратическое отклонение скоростей частиц кристалла.

Показано, что энергия стоячей волны убывает в 4 раза быстрее энергии бегущей волны при одних параметрах эксперимента. Продемонстрированы предельные значения [math]\beta[/math]:

  • [math]\beta = 2[/math] при [math]\sigma_v^2 = 0[/math];
  • [math]\beta \rightarrow 1[/math] при [math]\sigma_v^2 \rightarrow \infty[/math].

Показано влияние скорости убывания [math]E^*[/math] на развал бегущей волны и, как следствие, образование дополнительного колебательного процесса. При больших значениях [math]\sigma_v^2[/math] волна сохраняет свою первоначальную форму, развал не происходит из-за слишком быстрого перехода механической энергии волны в тепловую.

Результаты работы были получены с использованием вычислительных ресурсов суперкомпьютерного центра Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. Каждый расчёт производился на отдельном ядре CPU с использованием технологии MPI, одновременно задействовалось [math]1000[/math] ядер. Таким образом, для получения [math]5 \cdot 10^4[/math] реализаций вычисления повторялись [math]50[/math] раз, в среднем общее время моделирования для одного значения [math]\sigma^{2}_{v}[/math] составило [math]20[/math] минут при шаге [math]\Delta t = 0.05 T_0[/math], [math]6[/math] часов при [math]\Delta t = 0.005 T_0[/math] и [math]12[/math] часов при [math]\Delta t = 0.0005 T_0[/math] ([math]T_0[/math] – заданный масштаб времени).

Автор благодарен Д. В. Цветкову за полезные обсуждения.

Список литературы

<references>
  1. ↑ Yenny et al. Hernandez. High-yield production of graphene by liquid-phase exfoliation of graphite. Nature Nanotechnology, 3:563–568, 2008.
  2. ↑ Xiaolin et al. Li. Highly conducting graphene sheets and langmuir-blodgett films. Nature Nanotechnology, 3:538–542, 2008.
  3. ↑ L. Shi et al. Evaluating broader impacts of nanoscale thermal transport research. Nanoscale and Microscale Thermophysical Engineering, 19:127–165, 2015.
  4. ↑ Kostya S Novoselov, Andre K Geim, Sergei V Morozov, D Jiang, Y Zhang, Sergey V Dubonos, Irina V Grigorieva, and Alexandr A Firsov. Electric field effect in atomically thin carbon films. Science, 306(5696):666–669, 2004.
  5. ↑ Z. Xu, G. Tai, Y. Zhou, F. Gao, and K. H. Wong. Self-charged graphene battery harvests electricity from thermal energy of the environment. ArXiv e-prints, 2012.
  6. ↑ Enrico Fermi, J. Pasta, and S. Ulam. Studies of nonlinear problems. Los Alamos Report LA-1940, 978, 1965.
Источник — «http://tm.spbstu.ru/?title=Преобразование_механической_энергии_в_тепловую_в_одномерном_кристалле&oldid=47486»