Исследование колебаний математического маятника переменной длины
Содержание
Цель
Целью нашей работы является исследование колебания маятника, длина которого меняется по гармоническому закону.
Задачи
- Построить графики колебаний, используя численные методы;
- Построить фазовые портеры;
- Исследовать влияние параметров в уравнении колебаний на вид колебаний и фазовых портретов;
- Сравнить решение исходного и линеаризованного уравнения.
- Визуализировать модель маятника при помощи языка программирования JavaScript
Вывод формул
Выясним, каким будет уравнение колебаний нашего маятника.
Для этого найдем кинетическую и потенциальную энергию маятника:
и запишем уравнение Лагранжа второго рода:
, где
Для исследования поведения нашего маятника рассмотрим несколько случаев. Для начала рассмотрим случай пренебрежения изменения длины маятника, учитывая, что начальный угол отклонения много меньше 1 радиана.
Разложим синус в ряд Тейлора:
Ограничиваясь первым членом в разложении, получим: 
Учитывая малость параметра b, заменим выражение эквивалентным:
Cведем наше уравнение к уравнению Матье: 
,где
Зоны устойчивости и неустойчивости уравнения Матье представлены на диаграмме Айнса-Стретта:
Усложним задачу и учтём изменение длины маятника. Рассмотрим три варианта:
В первом приближении:
С учётом третьего порядка приближения в разложении синуса :
И исходное уравнение:
При исследовании поведения системы мы построили график зависимости скорости затухания (раскачивания) от параметров b и p. При фиксированном значении параметра b и переменном значении параметра р мы считали декремент затухания:
Из этого графика видно, что при малых значениях параметра b для p на промежутке от 1,5 до 3 декремент отрицателен. Это означает, что колебания неустойчивы и происходит раскачивание системы. При больших b видно, что с увеличением p скорость затухания увеличивается, и при фиксированном p с увеличением b скорость затухания тоже увеличивается.
Визуализация
Выводы
В ходе исследований колебаний математического маятника переменной длины мы рассмотрели графики колебаний и фазовые портреты. Выяснили, что при фиксировании параметра b с увеличением частоты колебания затухают быстрее, аналогичная зависимость наблюдается при фиксировании частоты и увеличении параметра b. Однако есть области раскачки колебаний. Пренебрегая изменением длины, колебания схожи с классическим маятником для устойчивого случая. Но учитывая изменение длины и беря больше членов в разложении синуса, график заметно изменяется.
