Модифицированная функция Бесселя

Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.

Если в дифференциальном уравнении Бесселя

[math]{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0}[/math] заменить [math]{\displaystyle \ z} [/math] на [math]{\displaystyle \ iz} [/math], оно примет вид

[math]{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0,\qquad (1)}[/math] Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя. Если [math]{\displaystyle ~\nu } [/math] не является целым числом, то функции Бесселя [math]{\displaystyle ~J_{\nu }(iz)}[/math] и [math]{\displaystyle ~J_{-\nu }(iz)} [/math] являются двумя линейно независимыми решениями уравнения[math] {\displaystyle ~(1)}[/math] . Однако чаще используют функции

[math]{\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}}[/math] и [math]{\displaystyle ~I_{-\nu }(z).}[/math] Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если[math] {\displaystyle ~\nu } [/math] — вещественное число, а [math]{\displaystyle ~z} [/math] — положительно эти функции принимают вещественные значения.