Построение фазовых траекторий

Фазовая плоскость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка.Каждая точка фазовой плоскости отражает одно состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией.

Уравнение состояния системы имеет вид:

[math]m\ddot x = -kx - μ\dot x [/math]

Обозначим:

[math]λ_{1,2}=\frac{-μ\pm\sqrt{μ^2 - 4mk}}{2m} [/math]

корни характеристического уравнения:

[math]mλ^2 + μλ + k = 0[/math]

Фазовые портреты зависят от параметров m, k, μ.

Частные случаи

• При [math]μ^2 \gt 4mk\ [/math] (трение велико) оба корня характеристического уравнения действительные, различные и отрицательные. Фазовый портрет типа "Устойчивый узел"

• При [math]μ^2 = 4mk\ [/math] корень действительный отрицательный. Фазовый портрет типа "Вырожденный устойчивый узел"

• При [math] 0 \lt μ^2 \lt 4mk\ [/math] (трение мало) имеем два комплексно сопряженных корня с отрицательный вещественной частью. Фазовый портрет типа "Фокус"

• При [math]μ = 0, k \ne 0 [/math] (трение отсутствует) оба корня характеристического уравнения действительные, различные и отрицательные. Фазовый портрет типа "Центр"

• При [math]μ \ne 0, k = 0\ [/math] (Упругая сила отсутсвует) оба корня действительные, причем один отрицательный, а другой равен 0.