Одномерное уравнение теплопроводности. Фролова Ксения. 6 курс

Постановка задачи

Необходимо решить задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности (дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распределение температуры в заданной области пространства и его изменение во времени.) с использованием средств параллельного программирования на основе MPI. Задача решается для однородного уравнения теплопроводности (система теплоизолирована) на промежутке [0..L]:
[math]\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} - a^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2} = 0[/math]
[math]U(x,0) = U_0(x)[/math]
при следующих граничных условиях:
[math] \begin{cases} U(0,t) = T_0 \\ U(L,t) = T_1 \end{cases}[/math]

Реализация

При решении поставленной задачи будем использовать замену частных производных в дифференциальных уравнениях их разностными аналогами. Сеточный метод, основанный на замене в дифференциальном уравнении производных конечными разностями, называют методом конечных разностей, а сеточную схему такого метода - конечно-разностной.
Введем равномерную сетку [math]0 \lt x_i \lt L[/math] с шагом разбиения [math]Δx[/math], [math]Δt[/math] - шаг по времени. Явная конечно-разностная схема в таком случае будет выглять следующим образом:
[math]\frac{U_i^{n+1}-U_i^{n}}{Δ t} = a^2\frac{U_{i+1}^{n} - 2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}}{Δx^2}[/math]
Отрезок [0..L] разбивается на интервалы согласно количеству процессов в выполняемой параллельной программе. На каждом полученном таким способом интервале процесс интегрирования осуществляется отдельным процессом, при этом в связи с использованием явной схемы соседние процессы должны обмениваться крайними значениями, полученными на предыдущем шаге, для выполнения следующего шага.
Программа для решения одномерного уравнения теплопроводности: