Одномерное уравнение теплопроводности. Суранов Ян Сергеевич. 6 курс

Постановка задачи

Решается однородное уравнение теплопроводности на промежутке [math]\left[0\ldots 1\right][/math]

[math]\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} - k^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2} = f(x,t)[/math]

С граничными условиями

[math] \begin{cases} T(0,t) = T0(t)=cos2t*0.5 \\ T(1,t) = T1(t)=sin2t*0.5 \end{cases}[/math]

и начальным распределением температуры

[math]T(x,0) = T0(x)=10x[/math]

Реализация

Явная схема с перешагиванием

Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка. Запишем исходное уравнение в виде:

[math]\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2}[/math]

Введем сетку [math]0 \lt x_i \lt 1[/math] с шагом разбиения [math]Δx[/math]. Шаг по времени назовем [math]Δt[/math] Построим явную трехслойную схему:

[math]{T_{i}^{n+1}} = {T_{i}^{n-1}}+\frac{2dt}{dx^2}\left(T_{i+1}^{n} - 2T_{i}^{n}+T_{i-1}^{n}\right)[/math]

Где, [math]T_i[/math] — значение температуры в [math]i[/math]-ом узле. Так как схема трехслойная, то вначале надо иметь уже вычисленные значения функции [math]{T_{i}^{n}}[/math] на первом и нулевом слоях.

При n=0 значения функции [math]{T_{i}^{0}}[/math] определяются из начальных условий. При значения функции [math]{T_{i}^{1}}[/math] вычисляется по двухслойной схеме:

[math]\frac{T_i^{n+1}-T_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(T_{i+1}^{n} - 2T_{i}^{n}+T_{i-1}^{n}\right)[/math]

При i=0,i=1 значения функции определяются из краевых условий.

Компьютерная реализация

Скачать программу File:HeatEq_Yan.zip

Результаты

• При малом числе узлов в сетки, для данной многопроцессовой реализации, время расчета увеличивается.
• При увеличении числа процессов время расчета существенно сокращается, что делает целесообразным использование данного метода.

Полезные ссылки

Уравнение теплопроводности