Простой гармонический одномерный кристалл

Кафедра ТМ > Научный справочник > Механика > МДС >Одномерный кристалл>Простой гармонический

Одномерный кристалл с линейным взаимодействием между частицами, в котором все частицы и связи одинаковы. Наиболее простая модель в механике дискретных сред, обнаруживающая, однако, очень непростое поведение, прежде всего в задачах распространения тепла.

Уравнение движения

Классическая динамика рассматриваемого кристалла описывается следующим линейным дифференциально-разностным уравнением второго порядка

[math]m\ddot u_k = C(u_{k+1}-2u_{k}+u_{k-1}) + f_k,[/math]

где [math]m[/math] — масса атома, [math]C[/math] — жесткость связи, [math]u_k[/math] — перемещение атома, [math]f_k[/math] — внешняя сила, [math]k[/math] — номер атома, точкой обозначена производная по времени.

Публикации по теме

Тепловые процессы

• A. Dhar, R. Dandekar. Heat transport and current fluctuations in harmonic crystals. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (2015), Volume 418, 49-64. Abstract.

• А.М. Кривцов. Распространение тепла в бесконечном одномерном гармоническом кристалле. Доклады Академии Наук (2015), том 464, № 2. (Скачать pdf корректуры статьи: 618 Kб) (Аналитически получены аналоги уравнения теплопроводности и закона Фурье).

• А.М. Кривцов. Колебания энергий в одномерном кристалле. Доклады Академии Наук (2014), том 458, № 3, 279-281. (Скачать pdf: 180 Kb). English version: A.M. Krivtsov. Energy Oscillations in a One-Dimensional Crystal. Doklady Physics (2014), Volume 59, No. 9, 427–430. (Download pdf: 162 Kb) (Аналитически описан процесс выхода на тепловое равновесие для пространственно-однородного состояния кристалла).

• D. Roy, A. Dhar. Heat Transport in Ordered Harmonic Lattices. J Stat Phys (2008), Volume 131, Issue 3, 535–541. (Abstract, pdf) (Получена точная формула для теплового потока в гармонической цепочке, в частных случаях воспроизводящая результаты Rieder et al. (1967) и Nakazawa (1970), исследуется также квантовый случай).

• H. Nakazawa. On the Lattice Thermal Conduction. Prog. Theor. Phys. Supplement (1970), Volume 45, 231-262. Abstract (Результаты Rieder at al (1967) аналитически распространяются на другие граничные условия и пространственный гармонический кристалл, для ангармонической цепочки численно показано, что тепловое сопротивление растет с увеличением нелинейности).

• Z. Rieder, J. L. Lebowitz and E. Lieb. Properties of a Harmonic Crystal in a Stationary Nonequilibrium State. J. Math. Phys. (1967), Volume 8, Issue 5, 1073. Abstract (Впервые показано, что для гармонической цепочки тепловой поток не зависит от количества частиц, а равновесная температура везде, кроме окрестности краев, равна полусумме температур краевых точек).

Релаксационная динамика

В случае, когда [math]f_k = -b \dot u_k + \tilde f_k[/math] и коэффициент вязкости [math]b[/math] достаточно велик, чтобы можно было пренебречь инерционным слагаемым [math]m\ddot u_k[/math], уравнение динамики Ньютона (2-го порядка) преобразуются в уравнения релаксационной динамики (1-го порядка):

[math]b\dot u_k = C(u_{k+1}-2u_{k}+u_{k-1}) + \tilde f_k.[/math]

Подобные модели рассматриваются для описания, в частности, волн заряда-плотности в сверхпроводниках (CDW: charge-density waves).

Другие вопросы

• A. Wierling. Dynamic structure factor of linear harmonic chain – A recurrence relation approach. The European Physical Journal B (2012), Volume 85, Issue 1, Article number 20. Abstract (Получено рекуррентное соотношение для определения динамического структурного множителя в гармонической цепочке).

См. также

• Перенос тепла в одномерных кристаллах
• Нарушение закона Фурье в идеальных кристаллах